Satz von Ky Fan

In der Theorie der konvexen Funktionen, einem Teilgebiet der Mathematik zwischen Funktionalanalysis und numerischer Mathematik, wurde das Von Neumann’sche Minimax-Theorem () von verschiedenen Autoren und auf vielfache Weise verallgemeinert und abgewandelt. Die dabei gewonnenen Resultate nennt man Minimaxsätze (). Einer der vielgenannten Minimaxsätze ist derjenige Lehrsatz, welcher von dem Mathematiker Ky Fan im Jahre 1953 vorgelegt wurde und den man auch als Satz von Ky Fan bezeichnet. Einen dem Ky Fan’schen sehr ähnlichen Minimaxsatz hat Heinz König im Jahre 1968 geliefert.Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. 446 ff., S. 450.Jean-Pierre Aubin: Optima and Equilibria. 1998, Kar. 7, 8, 12.R. Tyrrell Rockafellar: Convex Analysis. 1970, S. 388 ff.A. Wayne Roberts, Dale E. Varberg: Convex Functions. 1973, S. 128–138.Josef Stoer, Christoph Witzgall: Convexity and Optimization in Finite Dimensions. I. 1970, S. 230 ff.Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 250 ff.Heinz König: Über das von Neumannsche Minimax-Theorem. Archiv der Mathematik 19, S. 273–288

Formulierung des Satzes An die Monographie von Peter Kosmol anschließend lässt sich der Ky Fan’sche Satz wie folgt formulieren:Kosmol, op. cit., S. 450. Gegeben seien eine nichtleere Menge und ein nichtleerer kompakter topologischer Raum sowie eine reellwertige Funktion . Die Funktion sei F-konkav bezüglich und F-konvex bezüglich . Zudem sei für jedes eine unterhalbstetige Funktion.

Dann gilt .

Von Neumann’sches Minimax-Theorem Der Satz von Ky Fan führt direkt zu der folgenden Version des Von Neumann’schen Minimax-Theorems:Roberts/Varberg, op. cit., S. 131, S. 138. Gegeben seien nichtleere kompakte, konvexe Teilmengen und sowie eine stetige Funktion . Für jedes sei ein konvexes Funktional und für jedes sei ein konkaves Funktional.

Dann gibt es einen Sattelpunkt von und es gilt .

Geläufiger als diese Version des Von Neumann’schen Minimax-Theorems ist indes eine, bei der das obige Funktional direkt abhängig ist von einer reellen quadratischen Matrix und die nach Beckenbach/Bellmann folgendermaßen zu formulieren ist:Edwin F. Beckenbach, Richard Bellman: Inequalities. 1983, S. 120–121. Gegeben seien das reelle Simplex sowie eine Matrix .

Dann gilt die Gleichung .

Allgemeiner Hintergrund Dem Minimaxsatz liegt ein allgemeiner Satz der Ordnungstheorie zugrunde:Roberts/Varberg, op. cit., S. 130.Ivar Ekeland, Roger Témam: Convex analysis and variational problems. 1976, S. 166–167. Gegeben seien nichtleere Mengen und sowie eine numerische Funktion .

Dann gilt .

Gibt es dabei ein Element mit für alle und alle , so gilt sogar .

Ungleichung von Ky Fan Im Zusammenhang mit dem obigen Minimaxsatz von Ky Fan ist eine Ungleichung erwähnenswert, die von Ky Fan im Jahre 1972 vorgestellt wurde und die sich nicht nur als gleichwertig mit dem Fixpunktsatz von Brouwer erwiesen hat, sondern überdies eine Reihe von Existenzsätzen der Nichtlinearen Funktionalanalysis nach sich zieht. Diese Ky Fan’sche Ungleichung () lässt sich wie folgt angeben:Ky Fan: A minimax inequality and applications. In: Oved Shisha: Inequalities - III. 1972, S. 103–113Jean-Pierre Aubin, Ivar Ekeland: Applied Nonlinear Analysis 1984, S. 325 ff., S. 330Aubin, op. cit., S. 140, S. 125–141, S. 145 ff.Gegenüber der Darstellung von Aubin bzw. Aubin/Ekeland sind hier die Rollen der beiden Komponenten vertauscht. Gegeben seien ein hausdorffscher topologischer Vektorraum und darin eine nichtleere, kompakte, konvexe Teilmenge sowie eine reellwertige Funktion . Es sei jedes Funktional unterhalbstetig und jedes Funktional sei quasikonkav. Dann gilt die Ungleichung

und dabei gibt sogar einen Raumpunkt mit .

Erläuterungen und Anmerkungen Eine Funktion heißt F-konkav bezüglich , wenn sie folgende Eigenschaft hat: Es gibt für stets ein , so dass für jedes die Ungleichung erfüllt ist. Eine Funktion heißt F-konvex bezüglich , wenn sie folgende Eigenschaft hat: Es gibt für stets ein , so dass für jedes für jedes die Ungleichung erfüllt ist. Die Bezeichnungen F-konkav und F-konvex benutzt Peter Kosmol, um darzustellen, dass die Funktion nach der von Ky Fan gewählten Herangehensweise Merkmale hat, die an Konvexität und Konkavität erinnern und diese dabei sogar verallgemeinern. Es ist nach dieser Herangehensweise nicht notwendig, dass der zugrunde liegende Raum ein linearer Raum ist. Jede stetige reellwertige Funktion ist auch unterhalbstetig. Ein Element , welches die in dem obigen allgemeinen Hintergrundsatz aufgeführten Ungleichungen in Bezug auf eine numerische Funktion erfüllt, wird auch Sattelpunkt von genannt. Beim Beweis des allgemeinen Hintergrundsatzes erweist sich als ausschlaggebend, dass die erweiterten reellen Zahlen einen vollständigen Verband bilden. Der Hintergrundsatz lässt sich also in entsprechender Weise auch auf den Fall ausdehnen, dass die dortige Funktion in einen solchen abbildet. Die obige erste Version des Von Neumann’schen Minimax-Theorems (bzw. eine im Wesentlichen gleichwertige Fassung davon) gibt Philippe G. Ciarlet in seiner Monographie Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications als Ky Fan-Sion theorem () wieder.Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. 2013, S. 572–573 Die obige zweite Version des Von Neumann’schen Minimax-Theorems folgt offenbar aus der ersten, da das Funktional offenbar eine bilineare Abbildung ist. Dass die Ungleichung von Ky Fan im Jahre 1972 vorgestellt wurde, weist Jean-Pierre Aubin in seiner Monographie Optima and Equilibria aus, wobei er offenbar Bezug auf das Erscheinungsjahr des Tagungsbandes der Inequalities - III nimmt. Die Tagung selbst fand im September 1969 statt.Aubin, op. cit., S. 125 Der Nachweis, dass die Ungleichung von Ky Fan den Brouwer’schen Fixpunktsatz nach sich zieht, ist leicht zu führen. An Aubins Darstellung in Optima and Equilibria anschließend setzt man dazu für eine auf der Einheitskugel gegebene stetige Selbstabbildung die reellwertige Funktion durch fest, wobei das reelle Standardskalarprodukt ist. Dann ist offenbar stetig und für jedes ist eine affine Abbildung. Damit sind die der Ungleichung von Ky Fan zugrundeliegenden Voraussetzungen erfüllt und es gibt ein mit . Dies impliziert und schließlich .Aubin, op. cit., S. 141

Literatur

Siehe auch Min-Max-Theorem

Einzelnachweise

Ky Fan, Satz von Ky Fan, Satz von Ky Fan