mini|hochkant=1.2|Bei der sog. j-Funktion – hier im kolorierten Schaubild – handelt es sich um eine Modulfunktion. Ihre außerordentliche Symmetrie zeichnet sich durch eine unendliche Anzahl von Funktionalgleichungen (darunter 1-Periodizität und ) bei gleichzeitiger komplexer Differenzierbarkeit aus.

Elliptische Modulformen umfassen in der Mathematik eine bestimmte Gattung von Funktionen, die eine überaus starke Form der Symmetrie besitzen und aufgrund ihrer sehr breiten Anwendungsmöglichkeiten wie zum Beispiel in Zahlentheorie, Topologie, Darstellungstheorie, Gruppentheorie, Geometrie, Kombinatorik, Stringtheorie, Differentialgleichungen und Knotentheorie zu den bedeutendsten Objekten innerhalb der modernen Mathematik gehören. Das Wort „elliptisch“ bedeutet in diesem Kontext, dass die betreffenden Modulformen auf Modulräumen elliptischer Kurven definiert sind. Hierbei ist „Modul“ ein altmodisches Wort für „Parameter, der für ein geometrisches Objekt steht“. In der Literatur wird jedoch dieser Zusatz häufig weggelassen, wenn aus dem Kontext ersichtlich ist, um welchen Typ Modulform es sich handelt.

Elliptische Modulformen – und ihre Verallgemeinerungen – werden als Kandidaten für eine Zusammenführung einiger Teilbereiche der Mathematik und theoretischen Physik gesehen, weshalb in der Literatur gelegentlich von „web of modularity“ (deutsch: „Netz der Modularität“) und „modular forms are everywhere“ (deutsch: „Modulformen sind überall“) gesprochen wird. Damit ist gemeint, dass sie Brücken zwischen mathematischen, aber auch physikalischen Theorien bauen, die längere Zeit als verschieden angesehen wurden und teils eine völlig unterschiedliche mathematische Historie und Tradition haben. In manchen Fällen sind solche Zusammenhänge in der Vergangenheit schon gezeigt worden, in anderen Fällen, besonders im Umfeld der Zahlentheorie und Darstellungstheorie, werden sie im Rahmen des Langlands-Programms bis heute nur vermutet. Sehr kurz beschreiben lassen sich diese Zusammenhänge durch ein „gemeinsames Vorhandensein von Symmetrie“. Vereinheitlichende mathematische Theorien sind von besonderem Interesse, weil sie die verborgene „Architektur der Mathematik“ sichtbar machen und durch diese Einsichten neue Anwendungsfelder eröffnen. In etwa eröffnet sich die Möglichkeit, Probleme einer Theorie äquivalent in eine andere Theorie zu übertragen, und gegebenenfalls mit den dort vorhandenen Methoden zu lösen. Auch in der theoretischen Physik gelten Modulformen als Bestandteil innerhalb mathematischer Theorien, die tiefere Strukturen hinter dem Aufbau des Universums erklären könnten – etwa im Umfeld der Stringtheorie – ähnlich wie die Riemannsche Geometrie aus der Mathematik die Grundlage für Albert Einsteins Relativitätstheorie bildete, die sich später experimentell bestätigen ließ.

Die Theorie der elliptischen Modulformen ist enorm umfangreich und bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Zwei der sieben Millennium-Probleme der Mathematik – die Riemannsche Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer – treffen Aussagen über Objekte – sog. L-Funktionen –, die unmittelbar mit elliptischen Modulformen verknüpft sind. Etwa besagt die Riemannsche Vermutung, dass sämtliche nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf einer gemeinsamen Geraden liegen – und damit die Primzahlen ein „möglichst zufälliges“ Verteilungsmuster aufweisen. Diese Gerade ist eine Spiegelungsgerade für die Werte der Zetafunktion – und diese Symmetrie rührt von einer Modulform her, die mit der Zetafunktion assoziiert ist.

Um das Konzept einer elliptischen Modulform zu verstehen, kann es helfen, die trigonometrischen Funktionen, wie Sinus und Kosinus, als eine „Vorstufe“ zu sehen. Hier äußert sich die Symmetrie durch ihre Periodizität und ihr Spiegelungsverhalten an den Achsen bei gleichzeitiger Holomorphie (wenn auf komplexe Zahlen fortgesetzt). Im Falle der Modulformen kommen jedoch neben der Periodizität noch eine unendliche Anzahl weiterer Funktionalgleichungen hinzu, was ihnen erheblich mehr Struktur verleiht. Im einfachsten Falle spricht man bei einer holomorphen Funktion (als Funktion auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen) von einer ganzen, elliptischen Modulform des Gewichts zur vollen Modulgruppe, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind: Funktionalgleichungen: für alle ganzen Zahlen mit und alle , Wachstumsbedingung: existiert (mit dem Imaginärteil ). Durch die Wahl und ergibt sich , weshalb jede Modulform eine periodische Funktion ist. Als solche kann sie, wegen ihrer Holomorphie, in eine Fourier-Reihe entwickelt werden: , wobei die Wachstumsbedingung äquivalent zu für alle ist. Die Fourier-Koeffizienten tragen oft wichtige, zahlentheoretische Informationen. Zu den einfachsten Beispielen von Modulformen gehören die Eisensteinreihen.

Etwas allgemeiner handelt es sich bei elliptischen Modulformen um auf der oberen Halbebene meromorphe Funktionen, die oberes Transformationsverhalten bezüglich ihrer Funktionswerte respektieren, und am Rand ihres Definitionsbereichs kein zu starkes Wachstum besitzen. Wichtiger Spezialfall ist der Begriff der Modulfunktion, der zum Gewicht korrespondiert und damit zusätzlich eine Form der absoluten Invarianz fordert, was eine höhere Anforderung als denen einer Modulform darstellt.

Die Entdeckungsgeschichte der Modulformen lässt sich bis in die Anfänge des 19. Jahrhunderts zurückverfolgen, wo sie besonders mit Namen wie Carl Friedrich Gauß, Gotthold Eisenstein und Carl Gustav Jacobi assoziiert sind. Umfangreiche Forschungsprogramme ab dem 20. Jahrhundert haben jedoch zu sehr weitreichenden Verallgemeinerungen von „klassischen Modulformen“ geführt, und den Begriff der automorphen Formen geprägt, die in der modernen Mathematik primär als Objekte der Darstellungstheorie gesehen werden.

Neben den elliptischen Modulformen wurden viele weitere Arten von Modulformen gefunden, zum Beispiel Jacobiformen, Siegelsche Modulformen, Hilbertsche Modulformen sowie p-adische Modulformen.

Dieser Artikel geht hinsichtlich der mathematischen Details primär auf die Standardsituation der vollen Modulgruppe ein, beleuchtet die Bedeutung der elliptischen Modulformen jedoch im Kontext sämtlicher Kongruenzuntergruppen. Für die mathematischen Details dieser Verallgemeinerung wird auf den Artikel Elliptische Modulformen zu Kongruenzuntergruppen verwiesen.

Notation Es werden die folgenden üblichen Notationen verwendet:

für die natürlichen Zahlen. für die ganzen Zahlen. für die rationalen Zahlen. für die reellen Zahlen. für die komplexen Zahlen. Es bezeichnen und den Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl . für die obere Halbebene. und bezeichnen das übliche Summenzeichen bzw. Produktzeichen. ist die Standardnotation in der Theorie der Modulformen für die Exponentialvariable. ist die spezielle lineare Gruppe vom Rang 2 über den ganzen Zahlen. ist die von Translationen erzeugte Untergruppe von . Es bedeutet , dass ein Element der Menge ist, und dass es kein Element der Menge ist. Zum Beispiel ist und . Es bezeichnet die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus. Es bezeichnet die Kreiszahl. Es bezeichnet die Fakultät von , und die Gammafunktion, die Fakultäten auf komplexe Zahlen erweitert. Es bedeutet , dass die Zahl teilt, zum Beispiel . Ist das Symbol durchgestrichen, liegt keine Teilbarkeit vor, etwa .

Grundbegriffe und Hinführung Komplexe Zahlen und die obere Halbebene

hochkant=1|mini|Die komplexen Zahlen spannen eine Ebene auf. Dabei existiert die „reelle Richtung“ (Achsenbeschriftung: Re) und die „imaginäre Richtung“ (Achsenbeschriftung: Im). mini|hochkant=1|Illustration der oberen Halbebene.

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sogenannter imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, algebraische Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung . Sie hat keine reelle Lösung, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nicht-negativ ist. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl mit der Eigenschaft hinzu, so kann die obige Gleichung gelöst werden.

Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl ist von der Form mit reellen Zahlen und . Geht man Schritte in „reelle Richtung“ und Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl mit dem Punkt in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird als Realteil und als Imaginärteil von bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel vonnöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel , und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:

Dabei entsteht der Term beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt . Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:

Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen , genau wie die reellen Zahlen , einen Körper bilden.

Besonders wichtig in der Theorie der Modulformen ist die obere Halbebene der komplexen Zahlen. Dabei handelt es sich um jene komplexe Zahlen, deren Imaginärteil positiv ist. Abgekürzt wird dies in der Literatur häufig mit (aber auch Jan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Berlin/Heidelberg 2008, S. 3. und William Stein: Modular Forms, a Computational Approach. Providence, RI., 2007, S. 1. sind gängige Notationen). In Formeln schreibt man

Beispielsweise ist , aber . Die obere Halbebene ist der Definitionsbereich von Modulformen als Funktionen.

Komplexe Funktionen

Eine mathematische Funktion stellt ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen und über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus genau ein Element in zugeordnet wird.

Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählt etwa die quadratische Funktion .

160px|mini|Schaubild der reellen Vorschrift Reelle Funktionen induzieren „Tabellendaten“ der Form , wobei die Eingabewerte den Definitionsbereich von durchlaufen. Die Analogie zu einer Tabelle entsteht dadurch, dass Daten und in Zeilen- oder Spaltenform zusammengestellt werden können. Es ist jedoch nicht möglich, alle Werte einer reellen Funktion in eine Tabelle einzutragen, da es zum Beispiel bereits nicht möglich ist, alle Werte aufzulisten. Alle nicht leeren, echten Intervalle der reellen Zahlen sind überabzählbar. Daher ist die Darstellung einer reellen Funktion anhand eines Schaubildes üblich. Dabei macht man sich zunutze, dass der Definitionsbereich ein Teil eines Zahlenstrahles ist, ebenso der Wertebereich. Ergo sammeln sich die Informationen zu Punkten in einer zweidimensionalen Ebene. Hebt man diese in der Ebene hervor, bekommt man einen Überblick über das Verhalten einer reellen Funktion.