In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.
Hilbert-Funktion Sei eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal . Für sei
der homogene Anteil vom Grad . Der Koordinatenring ist dann ein graduierter Ring
mit .
Die Dimension von gibt die Anzahl der unabhängigen, enthaltenden Hyperflächen vom Grad . Die Hilbert-Funktion ist definiert durch , sie gibt also die Kodimension von .
Beispiele Sei . Dann ist für alle . Sei . Dann ist und für alle . Sei eine aus Punkten bestehende Menge. Dann ist für . Sei eine durch ein homogenes Polynom vom Grad gegebene Kurve. Dann ist für .
Hilbert-Polynom Satz: Zu jeder projektiven Varietät gibt es ein Polynom vom Grad , so dass
für alle hinreichend großen gilt.
Das Polynom heißt das Hilbert-Polynom der Varietät .
Siehe auch Hilbert-Schema
Literatur D. Eisenbud: Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94268-8
Weblinks D. Plaumann: Hilbert polynomials
Kategorie:Kommutative Algebra Kategorie:Algebraische Geometrie