Polarkoordinaten

mini|300px|Ein Polargitter verschiedener Winkel mit Grad-Angaben

In der Mathematik und Geodäsie versteht man unter einem Polarkoordinatensystem (auch: Kreiskoordinatensystem) ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt in einer Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt und durch den Winkel zu einer festen Richtung festgelegt wird.

Der feste Punkt wird als Pol bezeichnet; er entspricht dem Ursprung bei einem kartesischen Koordinatensystem. Der vom Pol in der festgelegten Richtung ausgehende Strahl heißt Polarachse. Der Abstand vom Pol wird meist mit oder bezeichnet und heißt Radius oder Radialkoordinate, der Winkel wird mit oder bezeichnet und heißt Winkelkoordinate, Polarwinkel, Azimut oder Argument.

Polarkoordinaten bilden einen Spezialfall von orthogonalen Koordinaten. Sie sind hilfreich, wenn sich das Verhältnis zwischen zwei Punkten leichter durch Winkel und Abstände beschreiben lässt, als dies mit - und -Koordinaten der Fall wäre. In der Geodäsie sind Polarkoordinaten die häufigste Methode zur Einmessung von Punkten (Polarmethode). In der Funknavigation wird das Prinzip oft als „Rho-Theta“ (für Distanz- und Richtungsmessung) bezeichnet.

In der Mathematik wird die Winkelkoordinate im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) gemessen. Wird zugleich ein kartesisches Koordinatensystem benutzt, so dient in der Regel dessen Koordinatenursprung als Pol und die -Achse als Polarachse. Die Winkelkoordinate wird also von der -Achse aus in Richtung der -Achse gemessen. In der Geodäsie und in der Navigation wird das Azimut von der Nordrichtung aus im Uhrzeigersinn gemessen.

Polarkoordinatenpapier ist mit einem Polarkoordinatensystem bedruckt.

Geschichte

Die Begriffe Winkel und Radius wurden bereits von den Menschen des Altertums im ersten Jahrtausend vor Christus verwendet. Der griechische Astronom Hipparchos von Nicäa (190–120 v. Chr.) erstellte eine Tafel von trigonometrischen Sehnenfunktionen, um die Länge der Sehne für die einzelnen Winkel zu finden. Mit Hilfe dieser Grundlage war es ihm möglich, die Polarkoordinaten zu nutzen, um damit die Position bestimmter Sterne festlegen zu können. Sein Werk umfasste jedoch nur einen Teil des Koordinatensystems.

In seiner Abhandlung Über Spiralen beschreibt Archimedes eine Spirallinie mit einer Funktion, deren Radius sich abhängig von seinem Winkel ändert. Die Arbeit des Griechen umfasste jedoch noch kein volles Koordinatensystem.

Es gibt verschiedene Beschreibungen, um das Polarkoordinatensystem als Teil eines formalen Koordinatensystems zu definieren. Die gesamte Historie zu diesem Thema wird in dem Aufsatz Origin of Polar Coordinates (Ursprung der Polarkoordinaten) des Harvard-Professors Julian Coolidge zusammengefasst und erläutert. Demnach führten Grégoire de Saint-Vincent und Bonaventura Cavalieri diese Konzeption unabhängig voneinander in der Mitte des 17. Jahrhunderts ein. Saint-Vincent schrieb im Jahre 1625 auf privater Basis über dieses Thema und veröffentlichte seine Arbeit 1647, während Cavalieri seine Ausarbeitung 1635 veröffentlichte, wobei eine korrigierte Fassung 1653 erschien. Cavalieri benutzte Polarkoordinaten anfangs, um ein Problem in Bezug auf die Fläche der Archimedischen Spirale zu lösen. Etwas später verwendete Blaise Pascal Polarkoordinaten, um die Länge von parabolischen Winkeln zu berechnen.

In dem Werk Method of Fluxions (Fluxionsmethode) (geschrieben 1671, veröffentlicht 1736) betrachtet Sir Isaac Newton die Transformation zwischen Polarkoordinaten, auf die er sich als „Seventh Manner; For Spirals“, (Siebte Methode; Für Spiralen) bezog, und neun anderen Koordinatensystemen.

Es folgte Jacob Bernoulli, der in der Fachzeitschrift Acta Eruditorum (1691) ein System verwendete, das aus einer Geraden und einem Punkt auf dieser Geraden bestand, die er Polarachse bzw. Pol nannte. Die Koordinaten wurden darin durch den Abstand von dem Pol und dem Winkel zu der Polarachse festgelegt. Bernoullis Arbeit reichte bis zu der Formulierung des Krümmungskreises von Kurven, die er durch die genannten Koordinaten ausdrückte.

Der heute gebräuchliche Begriff Polarkoordinaten wurde von Gregorio Fontana eingeführt und in italienischen Schriften des 18. Jahrhunderts verwendet. Im Folgenden übernahm George Peacock im Jahre 1816 diese Bezeichnung bei seiner Übersetzung von Sylvestre Lacroix' Traité élémentaire du calcul différentiel et du calcul intégral ins Englische.

Alexis-Claude Clairaut hingegen war der erste, der über Polarkoordinaten in drei Dimensionen nachdachte, deren Entwicklung jedoch erst dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler gelang.

Polarkoordinaten in der Ebene: Kreiskoordinaten

Definition

Ein ebenes Polarkoordinatensystem wird durch einen Referenzpunkt, den Pol, und einen von ihm ausgehenden Strahl, die Polarachse, definiert. Der Pol bildet den Ursprung des Koordinatensystems und die Polarachse ist mit einer Skala versehen, welche die radiale Einheitslänge festlegt. Zur eindeutigen Orientierung wird zudem ein Drehsinn als positiv festgelegt. Mit diesen Festlegungen wird die Lage eines Punktes der Ebene hinreichend durch zwei Zahlen beschrieben:

Der Radius (in der Praxis auch Abstand) entspricht dem (nichtnegativen) Abstand des Punktes zum Pol, der Polarwinkel oder (in der Praxis auch Azimut) ist der Winkel zwischen der Polarachse und dem Strahl, der vom Pol zum Punkt verläuft.

Diese Zahlen werden meist zu einem Koordinatenpaar zusammengefasst und heißen die Polarkoordinaten des Punktes.

Konventionen Der Winkel wird in der Mathematik und Physik standardmäßig im Bogenmaß (Radiant) angegeben und im Gegenuhrzeigersinn (↺) positiv gezählt. Das bedeutet insbesondere, dass Winkel, die durch Drehung der Polarachse im Uhrzeigersinn entstehen, negativ sind. Die Polarachse zeigt in grafischen Darstellungen des Koordinatensystems typischerweise nach rechts.

Eindeutigkeit Für ist der Winkel nur bis auf ganzzahlige Vielfache von eindeutig bestimmt, da die Winkel und (für ) den gleichen Punkt beschreiben. Zur Gewährleistung der Eindeutigkeit wird der Winkel auf ein halboffenes Intervall der Länge beschränkt. Üblicherweise werden dazu je nach Anwendungsgebiet die Intervalle oder gewählt. Für ist der Winkel nicht eindeutig bestimmt, sondern könnte jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Für eine eindeutige Transformationsvorschrift wird er häufig als 0 definiert.mini|hochkant=3|links|Ebene Polarkoordinaten (mit Winkelangaben in Grad) und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Umrechnung zwischen Polarkoordinaten und kartesischen Koordinaten Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem mit demselben Ursprung und derselben Orientierung wie das Polarkoordinatensystem, dessen positive -Achse die Polarachse ist (siehe Abbildung oben rechts), so lassen sich die kartesischen Koordinaten eines Punktes aus dessen Polarkoordinaten mithilfe der trigonometrischen Funktionen berechnen:

Unter Verwendung der Eulerschen Formel lässt sich dieser Zusammenhang kompakt mit komplexen Zahlen darstellen schreiben als

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist aufwändiger, weil man dabei immer auf eine (nicht den gesamten Wertebereich des Vollwinkels umfassende) trigonometrische Umkehrfunktion angewiesen ist. Zunächst kann aber der Radius mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden als

Ist , so kann für die Berechnung von jede der Gleichungen

herangezogen werden. Allerdings ist der Winkel dadurch nicht eindeutig bestimmt, auch nicht im Intervall oder , weil keine der drei Funktionen , und in diesen Intervallen injektiv ist. Die letzte Gleichung ist außerdem für nicht definiert. Deshalb ist eine Fallunterscheidung nötig, die davon abhängt, in welchem Quadranten sich der Punkt befindet, und somit von den Vorzeichen von und .

Mit komplexen Zahlen und komplexwertigen Funktionen lässt sich die Transformation schreiben als

Berechnung des Winkels im Intervall (−π, π] bzw. (−180°,180°] Mit Hilfe des Arkustangens kann wie folgt im Intervall bzw. bestimmt werden:

Einige Programmiersprachen (so zuerst Fortran 77) und Anwendungsprogramme (etwa Microsoft Excel) bieten eine Arkustangens-Funktion mit zwei Argumenten an, welche die dargestellten Fallunterscheidungen intern berücksichtigt und für beliebige Werte von und berechnet.

Zum selben Ergebnis kommt man, wenn man den Punkt in der kartesischen Ebene als komplexe Zahl auffasst und den Winkel

mittels der Argument-Funktion berechnet oder den Imaginärteil des Logarithmus von nimmt.

Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

Durch Ausnutzen der Tatsache, dass in einem Kreis ein Mittelpunktswinkel stets doppelt so groß ist wie der zugehörige Umfangswinkel, kann auch mit Hilfe der Arkustangens-Funktion mit weniger Fallunterscheidungen berechnet werden:

Berechnung des Winkels im Intervall [0, 2π) bzw. [0, 360°) Die Berechnung des Winkels im Intervall bzw. kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall berechnet wird und, nur falls er negativ ist, noch um vergrößert wird:

Durch Abwandlung der ersten obenstehenden Formel kann wie folgt direkt im Intervall bestimmt werden:

Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

Verschiebung des Winkels Bei geodätischen oder anderen Berechnungen können sich Azimute mit Werten außerhalb des üblichen Intervalls mit der unteren Grenze (oder auch ) ergeben. Die Gleichung

verschiebt in das gewünschte Intervall, sodass also gilt. Dabei ist die Abrundungsfunktion, also für jedes reelle die größte ganze Zahl, die nicht größer als ist.

Koordinatenlinien mini|Koordinatenlinien durch den Punkt Die beiden Koordinatenlinien durch den Punkt mit sind die Kurven , also eine Halbgerade, die im Koordinatenursprung beginnt, sowie ein Kreis mit dem Radius um den Koordinatenursprung.

Lokale Basisvektoren und Orthogonalität In geradlinigen Koordinatensystemen gibt es eine Basis für den gesamten Vektorraum, in krummlinigen muss an jedem Punkt eine lokale Basis berechnet werden. Die lokalen Basisvektoren und an einem Punkt sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien und ergeben sich aus den Kurvengleichungen durch Ableitung nach dem Kurvenparameter. Zum selben Ergebnis gelangt man auch durch partielle Ableitung der Koordinatentransformation für den Ortsvektor

nach den Koordinaten und : und .

Die Basisvektoren haben die Längen und und sind zueinander orthogonal, denn es gilt: . Die entsprechenden Koordinatenlinien schneiden sich also rechtwinklig, die Polarkoordinaten bilden somit ein orthogonales Koordinatensystem.

In der Tensorrechnung werden die lokalen Basisvektoren, die tangential zu den Koordinatenlinien verlaufen, wegen ihres Verhaltens bei Koordinatentransformationen als kovariant bezeichnet.

Metrischer Tensor Die Komponenten des kovarianten metrischen Tensors sind die Skalarprodukte der kovarianten lokalen Basisvektoren: . Nach den Rechnungen im vorigen Abschnitt ist damit .

Funktionaldeterminante Aus den Umrechnungsformeln von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten erhält man für die Funktionaldeterminante als Determinante der Jacobi-Matrix:

Flächenelement mini | Flächenelement der Breite und der Höhe in Polarkoordinaten

Mit der Funktionaldeterminante ergibt sich für das Flächenelement in Polarkoordinaten:

Wie das nebenstehende Bild zeigt, lässt sich das Flächenelement als ein differentielles Rechteck mit der Breite und der Höhe interpretieren.

Linienelement Aus den obigen Transformationsgleichungen

folgen

Für das kartesische Linienelement gilt

wofür in Polarkoordinaten folgt:

Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten Mit den lokalen Basiseinheitsvektoren und ergibt sich für den Ortsvektor : .