Das Benfordsche Gesetz, auch Newcomb-Benford’s Law (NBL), beschreibt eine Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der führenden Ziffern von Zahlen in empirischen Datensätzen, wenn die zugrunde liegenden Werte eine ausreichend große Varianz aufweisen.
Das Gesetz lässt sich etwa in Datensätzen über Einwohnerzahlen von Städten, Geldbeträge in der Buchhaltung, Naturkonstanten etc. beobachten. Kurzgefasst besagt es:
Je niedriger der zahlenmäßige Wert einer Ziffernsequenz bestimmter Länge an einer bestimmten Stelle einer Zahl ist, desto wahrscheinlicher ist ihr Auftreten.
Für die Anfangsziffern in Zahlen des Zehnersystems gilt zum Beispiel: Zahlen mit der Anfangsziffer 1 treten mit etwa 30,1 % und Zahlen mit der Anfangsziffer 9 treten nur mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 4,6 % auf.
Entdeckung 1881 wurde diese Gesetzmäßigkeit von dem Astronomen und Mathematiker Simon Newcomb entdeckt und im American Journal of Mathematics publiziert. Er hatte bemerkt, dass in den benutzten Büchern mit Logarithmentafeln die Seiten mit Tabellen mit Eins als erster Ziffer deutlich schmutziger waren als die anderen Seiten, weil sie offenbar öfter benutzt worden waren. Die Abhandlung Newcombs blieb unbeachtet und war schon in Vergessenheit geraten, als der Physiker Frank Benford (1883–1948) dieselbe Gesetzmäßigkeit wiederentdeckte und sie 1938 erneut publizierte. Seither war sie nach ihm benannt, in neuerer Zeit wird aber durch die Bezeichnung „Newcomb-Benford’s Law“ (NBL) der ursprüngliche Entdecker ebenfalls bedacht. Die Existenz einer solchen Gesetzmäßigkeit war selbst unter Statistikern nicht vielen bewusst, bis der US-amerikanische Mathematiker Theodore Hill versuchte, die Benford-Verteilung zur Lösung praktischer Probleme nutzbar zu machen, und sie dadurch wesentlich bekannter machte.
Benfordsche Verteilung Benfordsches Gesetz Das Benfordsche Gesetz besagt, dass für empirisch gegebene Zahlen die Ziffer mit Wahrscheinlichkeit
als erste von 0 verschiedene Ziffer in der Dezimaldarstellung der Zahlen vorkommen wird.
Mit einer Basisumrechnung in den natürlichen Logarithmus erhält man
Grafische Darstellung Benfords Gesetz besagt in seiner einfachsten Konsequenz, dass die führenden Ziffern mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erscheinen: , oder rechts|250px|Grafische Darstellung der Tabelle
Führende Ziffer Wahrscheinlichkeit 1 30,1 % 2 17,6 % 3 12,5 % 4 9,7 % 5 7,9 % 6 6,7 % 7 5,8 % 8 5,1 % 9 4,6 %
Verallgemeinerung Das Benfordsche Gesetz kann für andere Ziffern der gegebenen Zahlen verallgemeinert werden. Ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass die Ziffer an der 2. Stelle gleich 6 ist, dann gibt es 10 verschiedene Fälle für die 2 ersten Ziffern: 16, 26 …, 96. Die Wahrscheinlichkeit für die ersten Ziffern 16 ist . Die Wahrscheinlichkeit für die ersten Ziffern 26 ist . Insgesamt ergibt sich die Summe
Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziffer an der -ten Stelle im Stellenwertsystem mit der Basis auftritt:
wobei die Gaußklammer bezeichnet. Speziell für die erste Ziffer vereinfacht sich die Formel zu
Leicht nachprüfbar ist, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller verschiedenen Ziffern an einer bestimmten Stelle 1 ergibt, da die Summe nach Anwendung des oben schon für die erste Stelle verwendeten Logarithmengesetzes eine Teleskopsumme ergibt.
Gültigkeit des NBL Ein Datensatz ist eine Benford-Variable (das heißt, das Benfordsche Gesetz gilt für diesen Datensatz), wenn die Mantissen der Logarithmen des Datensatzes in den Grenzen von 0 bis 1 gleichverteilt sind; dies ist im Allgemeinen dann der Fall, wenn die Varianz innerhalb des Datensatzes einen bestimmten, von der Klasse der Verteilung, nach welcher die Logarithmen des Datensatzes verteilt sind, abhängigen Mindestwert nicht unterschreitet.
Bei den Fibonacci-Zahlen (jede Fibonacci-Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger) ergeben schon die Anfangsziffern der ersten 30 Zahlen eine Verteilung, die verblüffend nahe an einer Benford-Verteilung liegt. Dies gilt auch für ähnliche Folgen mit geänderten Anfangszahlen (z. B. die Lucas-Folgen). Viele Zahlenfolgen gehorchen dem Benfordschen Gesetz, viele andere gehorchen ihm aber nicht, sind also keine Benford-Variablen.
Warum viele Datensätze dem NBL folgen mini|Relative Häufigkeiten der Anfangsziffern 1 (rot) und 9 (blau) unter den Zahlen von 1 bis n: Nur für n = 10k − 1 stimmen beide überein. Das NBL gilt für reale Datensätze (damit sind hier solche gemeint, die keinen Manipulationen unterlagen), die genügend umfangreich sind und Zahlen in der Größenordnung von bis mindestens aufweisen, Daten also, die einigermaßen weit verteilt (dispergiert) sind. Es besagt, dass die Auftretenswahrscheinlichkeit der Ziffernsequenzen in den Zahlen nicht gleichverteilt ist, sondern logarithmischen Gesetzen folgt. Das bedeutet, dass die Auftretenswahrscheinlichkeit einer Ziffernsequenz umso höher ist, je kleiner sie wertmäßig ist und je weiter links sie in der Zahl beginnt. Am häufigsten ist die Anfangssequenz „1“ mit theoretisch 30,103 %. Das NBL beruht auf der Gleichverteilung der Mantissen der Logarithmen der Zahlenwerte des Datensatzes. Der Grund für die erstaunlich weite Gültigkeit des NBL liegt an dem Umstand, dass viele reale Datensätze log-normalverteilt sind, also nicht die Häufigkeiten der Daten selbst, sondern die Größenordnungen dieser Daten einer Normalverteilung folgen. Bei genügend breiter Dispersion der normalverteilten Logarithmen (wenn die Standardabweichung mindestens etwa gleich 0,74 ist) kommt es dazu, dass die Mantissen der Logarithmen stabil einer Gleichverteilung folgen. Ist die Standardabweichung allerdings kleiner, sind auch die Mantissen normalverteilt, und das NBL gilt nicht mehr, zumindest nicht mehr in der dargestellten einfachen Form. Ist die Standardabweichung kleiner als 0,74, kommt es zu dem in der Statistik nicht allzu häufigen Effekt, dass sogar der jeweilige Mittelwert der Normalverteilung der Logarithmen die Auftretenshäufigkeit der Ziffernsequenzen beeinflusst.
Geht man einerseits vom NBL in der heutigen Form aus, so existieren zahlreiche Datensätze, die dem NBL nicht genügen. Andererseits gibt es bereits eine Formulierung des NBL in der Form, dass ihm sämtliche Datensätze genügen.
Das Benfordsche Gesetz gilt insbesondere für Zahlenmaterial, das natürlichen Wachstumsprozessen unterliegt. Dann nämlich verändern sich die Zahlen im Laufe der Zeit und vervielfachen sich. Die erste Position der Mantisse verharrt für ca. 30 % der Zeit auf der 1, 18 % der Zeit auf der 2 usw.: Das entspricht der logarithmischen Verteilung, die das Benfordsche Gesetz vorhersagt, und ist unabhängig von der Zeit, in der eine Vervielfachung erfolgt. Dann beginnt der Zyklus von Neuem bei der 1. Bei einer Momentaufnahme der Preise eines Supermarktes wird man genau diese Verteilung finden, egal wann die Erhebung durchgeführt wird.
Skaleninvarianz Mit einer Konstanten multiplizierte Datensätze mit Newcomb-Benford-verteilten Anfangsziffern sind wiederum Benford-verteilt. Eine Multiplikation der Daten mit einer Konstanten entspricht der Addition einer Konstanten zu den Logarithmen. Sofern die Daten hinreichend weit verteilt sind, ändert sich dadurch die Verteilung der Mantissen nicht.
Diese Eigenschaft erklärt unmittelbar, warum in Steuererklärungen, Bilanzen etc., oder allgemein bei Datensätzen, deren Zahlen Geldbeträge darstellen, das Newcomb-Benfordsche Gesetz gilt. Wenn es überhaupt eine universell gültige Verteilung der Anfangsziffern in solchen Datensätzen gibt, dann muss diese Verteilung unabhängig davon sein, in welcher Währung die Daten angegeben werden, und die universelle Verteilung darf sich auch durch Inflation nicht verändern. Beides bedeutet, dass die Verteilung skaleninvariant sein muss. Da die Newcomb-Benfordsche Verteilung die einzige ist, die diese Bedingung erfüllt, muss es sich folglich um diese handeln.
Baseninvarianz Ein Datensatz, der zu einer Basis B1 dem Benfordschen Gesetz genügt, genügt diesem auch zur Basis B2. Konkreter gesagt, ein dekadischer Datensatz, der das Benfordsche Gesetz erfüllt, erfüllt das Benfordsche Gesetz auch dann, wenn die dekadischen Zahlen in ein anderes Zahlensystem (z. B. ins oktale oder ins hexadezimale) umgerechnet werden.
Anwendungen Entsprechen reale Datensätze trotz Erfüllung der parametrischen Anforderungen dem Benfordschen Gesetz insofern nicht, als die Anzahl des Auftretens einer bestimmten Ziffer signifikant von der durch das Benfordsche Gesetz angegebenen Erwartung abweicht, dann wird ein Prüfer jene Datensätze, die mit dieser Ziffer beginnen, einer tiefergehenden Analyse unterziehen, um die Ursache(n) für diese Abweichungen zu finden. Dieses Schnellverfahren kann zu tieferen Erkenntnissen über Besonderheiten des untersuchten Datensatzes bzw. zur Aufdeckung von Manipulationen bei der Datenerstellung führen.
Beispiel mini|280px|Verteilung der Anfangsziffern einer Tabelle mit 87 Zahlen (siehe Text) Eine Tabelle berichtet über die Ernteergebnisse aus dem Jahre 2002. Im Diagramm geben die blauen Balken die Häufigkeit der Anfangsziffern der 87 erfassten Zahlen an. Die Benford-Verteilung ist als rote Linie eingezeichnet. Sie spiegelt die Verteilung deutlich besser wider als eine Gleichverteilung (grüne Linie). Trotz der kleinen Stichprobe ist die Bevorzugung kleiner Werte bei der ersten Ziffer erkennbar, ebenso als Tendenz bei der zweiten Ziffer.
Die Tabelle fasst die Ergebnisse zusammen. In der Spalte 1. Ziffer steht, wie oft die Ziffer an erster Stelle auftritt, in der Spalte Benford, wie oft sie nach der Benford-Verteilung dort erwartet wird. Gleiches gilt für die Anzahl der Zahlen mit der Ziffer an zweiter Stelle in der Spalte 2. Ziffer. Die Ziffer 1 tritt danach 27-mal an erster Stelle auf, erwartet war 26,19-mal. Die Ziffer 4 steht 17-mal an erster Stelle, nach Benford sollte sie im Mittel 8,43-mal auftreten.
Mit abnehmendem Stellenwert der Ziffer nähert sich die oben angegebene Benford-Verteilung immer mehr der Gleichverteilung der Ziffern.
Ziffer 1. Ziffer Benford 2. Ziffer Benford 0 — — 9 10,41 1 27 26,19 17 9,91 2 15 15,32 9 9,47 3 7 10,87 11 9,08 4 17 8,43 5 8,73 5 4 6,89 9 8,41 6 5 5,82 7 8,12 7 4 5,05 8 7,86 8 5 4,45 7 7,62 9 3 3,98 5 7,39 Summe 87 87
In der Wirtschaft Das Benfordsche Gesetz findet Anwendung bei der Aufdeckung von Betrug bei der Bilanzerstellung, der Fälschung in Abrechnungen und generell zum raschen Auffinden eklatanter Unregelmäßigkeiten im Rechnungswesen. Mit Hilfe des Benfordschen Gesetzes wurde das bemerkenswert „kreative“ Rechnungswesen bei Enron und Worldcom aufgedeckt, durch welches das Management die Anleger um ihre Einlagen betrogen hatte (→ Wirtschaftskriminalität). Heute benutzen Wirtschaftsprüfer und Steuerfahnder Methoden, die auf dem Benfordschen Gesetz beruhen. Diese Methoden stellen einen wichtigen Teil der mathematisch-statistischen Methoden dar, die seit mehreren Jahren zur Aufdeckung von Bilanzfälschung, Steuer- und Investorenbetrug und allgemein Datenbetrug in Verwendung sind. Es konnte weiter gezeigt werden, dass auch die führenden Ziffern der Marktpreise dem Benfordschen Gesetz folgen.Tarek el Sehity, Erik Hoelzl, Erich Kirchler: Price developments after a nominal shock, Benford’s Law and psychological pricing after the euro introduction. In: International Journal of Research in Marketing, 22, Amsterdam 2005, Nr. 4, Dezember 2005, S. 471–480, doi:10.1016/j.ijresmar.2005.09.002
In der Forschung Das Benfordsche Gesetz kann auch bei der Aufdeckung von Datenfälschung in der Wissenschaft helfen. Es waren Datensätze aus den Naturwissenschaften, die zum Benfordschen Gesetz führten. Karl-Heinz Tödter vom Forschungszentrum der Deutschen Bundesbank hat dasselbe Gesetz benutzt, um in einem Beitrag zum German Economic Review die Ergebnisse von 117 volkswirtschaftlichen Arbeiten zu überprüfen.Hans Christian Müller: Auf der Jagd nach Zahlen-Fälschern. In: Handelsblatt, 30. November 2009.
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