In der Zahlentheorie ist eine Carol-Zahl eine ganze Zahl der Form oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form mit . Zahlen dieser Form wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einer Freundin, Carol G. Kimon, benannt hat.Cletus Emmanuel auf Prime PagesMessage to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel

Beispiele Die ersten Carol-Zahlen sind die folgenden: −1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, … () Die ersten primen Carol-Zahlen sind die folgenden: 7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … () Man nennt sie Carol-Primzahlen. Die siebente Carol-Zahl ist gleichzeitig die fünfte Carol-Primzahl und ist auch eine Primzahl, wenn man ihre Stellen umdreht (also ). Solche Zahlen nennt man Carol-Mirpzahlen. Man kennt momentan nur zwei Carol-Mirpzahlen: 16127, 16769023 Die größte bekannte Carol-Primzahl ist und hat Stellen.(2695631-1)2-2 auf The Lagest Known Primes! Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16. Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 44. Carol-Primzahl.Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch, Gary Barnes und Karsten Bonath

Eigenschaften Jede Carol-Zahl der Form mit hat eine binäre Darstellung, welche Stellen lang ist, mit Einsern beginnt, eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren Einsern endet. Mit anderen Worten:

Beispiel:

Die Differenz zwischen der -ten Mersenne-Zahl (also ) und der -ten Carol-Zahl beträgt . Somit könnte man die Carol-Zahlen anders definieren, nämlich als . Die Differenz zwischen der -ten Kynea-Zahl und der -ten Carol-Zahl beträgt . Wenn man mit der Carol-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Carol-Zahl ein Vielfaches von . Beispiel: ist die sechste Carol-Zahl nach und tatsächlich ist ein Vielfaches von . Eine Carol-Zahl mit für kann keine Primzahl sein. (folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

Verallgemeinerungen Eine verallgemeinerte Carol-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form mit und einer Basis .

Eigenschaften Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis kann nur dann eine Primzahl sein, wenn eine gerade Zahl ist. (Wenn eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz ungerade. Zieht man ab, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim (für ). Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.) Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit einer ungeraden Basis ist immer eine gerade Zahl. Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis ist auch eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis . Die kleinsten , sodass prim ist (Basis ), sind die folgenden (für ): 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, … Beispiel: Für kann man der obigen Liste an der 6. Stelle die Zahl entnehmen. Tatsächlich ist eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Carol-Primzahlen mit Basis entnehmen kann:Prime Wiki: Carol-Kynea table Form Potenzen , sodass verallgemeinerte Carol-Zahlen mit Basis , also der Form prim sind OEIS-Folge 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, … () 1 (führt zur geraden Primzahl ; mehr Potenzen existieren nicht) 1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, … 1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, … () 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, … 1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, … () 3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, 68835, … 1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, … () 1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, … 2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, 69354, … 1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, … 1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, 92539, … () 2, 27, 92, 4950, 20047, 46309, 55716, … 159, 879, 4744, 5602, 74387, … 1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, … 1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, … 2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, … 1, 4, 258, … 1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, … 1, 2, 13, 560, 28933, … 4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, … 3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, … 1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, … 12, 269, 1304, 5172, … 1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, … 1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, … Die größte bekannte verallgemeinerte Carol-Primzahl ist und hat Stellen.(290124116-1)2-2 auf The Lagest Known Primes! Sie wurde von Karsten Bonath am 1. März 2019 gefunden. Es ist die dritte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.

Weitere Verallgemeinerungen Eine positive ganze Zahl der Form nennt man Noddy-Zahl (Noddy number).Carol- und Kynea-Primzahlen

Die kleinsten primen Noddy-Zahlen sind die folgenden: 0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … ()

Siehe auch Kynea-Zahl

Weblinks

Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search. Carol- und Kynea-Primzahlen

Einzelnachweise

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