In der Zahlentheorie ist eine Kynea-Zahl eine ganze Zahl der Form , oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form mit . Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einem Baby, Kynéa R. Griffith, benannt hat.Cletus Emmanuel auf Prime PagesCletus Emmanuel:

Beispiele Die ersten Kynea-Zahlen sind die folgenden: 7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, 67125247, 268468223, 1073807359, 4295098367, 17180131327, 68720001023, 274878955519, 1099513724927, 4398050705407, 17592194433023, 70368760954879, 281475010265087, 1125899973951487, … () Die ersten primen Kynea-Zahlen sind die folgenden (die ist in der Liste wegen nicht enthalten, hätte aber ebenfalls die Form ): 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, 1073807359, 17180131327, 68720001023, 4398050705407, 70368760954879, 18014398777917439, 18446744082299486207, 5070602400912922109586440191999, … () Man nennt sie Kynea-Primzahlen. Die größte bekannte Kynea-Primzahl ist und hat Stellen.(2661478+1)2-2 auf The Lagest Known Primes! Sie wurde von Mark Rodenkirch im Juni 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 50. Kynea-Primzahl.Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search

Eigenschaften Jede Kynea-Zahl der Form hat eine binäre Darstellung, welche Stellen lang ist, mit einem Einser beginnt, danach Nullen in der Mitte hat und mit weiteren Einsern endet. Mit anderen Worten:

Beispiel:

Die Differenz zwischen der -ten Kynea-Zahl und der -ten Carol-Zahl beträgt . Wenn man mit der Kynea-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Kynea-Zahl ein Vielfaches von . Beispiel: ist die sechste Carol-Zahl nach und tatsächlich ist ein Vielfaches von . Eine Kynea-Zahl mit für kann keine Primzahl sein. (folgt aus der Eigenschaft direkt darüber) Eine Kynea-Zahl ist die Summe einer -ten Potenz von 4 und der -ten Mersenne-Zahl.

Verallgemeinerungen Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form mit und einer Basis .

Eigenschaften Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis kann nur dann eine Primzahl sein, wenn eine gerade Zahl ist. (Wenn eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz ungerade. Addiert man dazu, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim. Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.) Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit einer ungeraden Basis ist immer eine gerade Zahl. Eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis ist auch eine verallgemeinerte Kynea-Zahl mit Basis . Die kleinsten , sodass prim ist (Basis ), sind die folgenden (für ): 1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, … Beispiel: Für kann man der obigen Liste an der 11. Stelle die Zahl entnehmen. Tatsächlich ist eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Kynea-Primzahlen mit Basis entnehmen kann:Prime Wiki: Carol-Kynea table Form Potenzen , sodass verallgemeinerte Kynea-Zahlen mit Basis , also der Form prim sind OEIS-Folge 1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, 852770, … () 1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, 426385, … 1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, … () 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, … 22, 351, 1061, … () 1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, … 1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, … () 2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, … 1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, 82516, … 1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, 92990, … 3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, 42356, 52147, 82020, … () 24, 321, 971, 984, … 1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, … 1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, 80543, … 2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, … 1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, 170554, … 1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, … 1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, … 6, 279, 3490, … 2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, … 1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, … 3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, … 1, 54, 2040, 3063, … 1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, … 4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, … Die größte bekannte verallgemeinerte Kynea-Primzahl ist und hat Stellen.(30157950+1)2-2 auf The Lagest Known Primes! Sie wurde von Serge Batalov am 22. Mai 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die achte Kynea-Primzahl mit dieser Basis.

Weitere Verallgemeinerungen Eine positive ganze Zahl der Form nennt man Big-Ears-Zahl (Big-Ears number).Carol- und Kynea-Primzahlen

Die kleinsten primen Big-Ears-Zahlen, sogenannte Big-Ears-Primzahlen, sind die folgenden: 3, 7, 11, 15, 35, 16475, 26827, 79127, 85075, … ()

Siehe auch Carol-Zahl

Weblinks

Mark Rodenkirch, Gary Barnes, Karsten Bonath: Carol and Kynea Prime Search. Carol- und Kynea-Primzahlen

Einzelnachweise

Kategorie:Ganzzahlmenge Kategorie:Primzahl Kategorie:Zahlentheorie