Die Stufe-k Argumentation () ist ein Modell aus den volkswirtschaftlichen Teilbereichen der Verhaltensökonomik und der Spieltheorie, das versucht, die menschlichen Entscheidungsprozesse in strategischen Spielen zu erklären. In Experimenten wird teilweise ein deutliches Abweichen der Spieler vom vorhergesagten Verhalten aus den Standardtheorien, wie der Rückwärtsinduktion oder der iterativen Elimination strikt dominierter Strategien, beobachtet. Die Stufe-k Argumentation wurde zuerst von Rosemarie NagelNagel, Rosemarie. "Unraveling in Guessing Games: An Experimental Study". American Economic Review, 85(5):1313-1326. 1995 sowie Dale O. Stahl und Paul W. WilsonStahl, Dale O., und Paul W. Wilson. "On Players' Models of Other Players: Theory and Experimental Evidence". Games and Economic Behavior. 10(1):218-254. 1995 eingeführt und stellt einen Versuch dar, die Genauigkeit derartiger Vorhersagen zu verbessern.
Theoretisches Modell In den meisten Verhaltenstheorien wird die Annahme getroffen, dass Spieler strategisch denken, was bedeutet, dass sie Vermutungen über die wahrscheinlichen Handlungen der anderen Spieler bilden und basierend auf diesen Vermutungen beste Antworten finden. Alleine diese Rationalität genügt jedoch nicht, um eine genaue Vorhersage über den Spielausgang zu treffen, da Spieler bei der Bildung ihrer Vermutungen falsch liegen können.Camerer, Colin F., Teck-Hua Ho und Juin-Kuan Chong. "A Cognitive Hierarchy Model of Games". Quarterly Journal of Economics. 119(3):861-898. 2004
Entsprechend nehmen Verhaltensökonomen zusätzlich an, dass die Vermutung jedes Spielers über das Verhalten der anderen Spieler mit deren tatsächlichem Verhalten übereinstimmt. Die Annahme der gegenseitigen Rationalität und die Annahme der gegenseitigen Konsistenz definieren also gemeinsam das Gleichgewicht.
Viele Spiele, sowohl reale als auch fiktive, führen jedoch zu Spielausgängen, die von den vorhergesagten Gleichgewichten der Standardtheorien abweichen.Camerer, Colin F. "Behavioral Game Theory". Princeton University Press. 2003 Um diese Abweichungen zu erklären, haben unter anderem Rosemarie Nagel, anhand des Schönheitswettbewerbs nach John Maynard Keynes, sowie Stahl und Wilson, anhand 12 verschiedener, symmetrischer 3x3 Spiele, das Nicht-Gleichgewichtsmodell der Stufe-k Argumentation entwickelt. Gemäß dieser Theorie können die Spieler anhand der Stufen ihrer strategischen Überlegungen kategorisiert werden und somit steht die Annahme der begrenzten Rationalität im Fokus.
Rosemarie Nagels Modell Der entscheidende Unterschied der Stufe-k Argumentation zu Gleichgewichtsmodellen besteht darin, dass sie Heterogenität bei der Entscheidungsfindung der Spieler zulässt.Burchardi, Konrad B. und Stefan P. Penczynski. "Out of Your Mind: Eliciting Individual Reasoning in One Shot Games". Games and Economic Behavior. 84:39-57. 2014 Dies wird durch die Stufen der strategischen Überlegungen erfasst. Die Stufe-k Argumentation spezifiziert das Verhalten dieser Spielertypen wie folgt.
Stufe-0 Spieler verhalten sich nicht-strategisch. Damit ist gemeint, dass sie zwar Vermutungen über die wahrscheinlichen Handlungen der anderen Spieler haben können, diese aber nicht während des Entscheidungsprozesses berücksichtigen, also auch keine beste Antwort auf ebendiese suchen. Nagel trifft hier die Annahme, dass die Handlungen der Stufe-0 Spieler gleichmäßig über alle möglichen Handlungen verteilt sind. Spielertypen auf höheren Stufen (d. h. ) bilden Vermutungen über die Verteilung der niedrigeren Spielertypen und wählen anhand derer eine beste Antwort als ihre Handlung.
In Nagels ursprünglichem Modell nehmen die Spieler an, dass alle anderen Spieler jeweils dem nächstniedrigeren Spielertyp angehören. Ein Stufe-1 Spieler nimmt also an, dass alle anderen Stufe-0 Spieler sind, und bildet entsprechend seine beste Antwort. Ein Stufe-2 Spieler trifft folglich die Annahme, dass alle anderen Stufe-1 Spieler sind. Dieses Verhaltensmuster setzt sich für höhere Spielertypen fort, wobei jeder Spieler eine endliche Anzahl an Gedankengängen besitzt. Das heißt, dass Individuen darin begrenzt sind, wie tiefgehend sie strategisch denken können.
Eine wichtige Implikation der Stufe-k Argumentation in ihrer ursprünglichen Form ist die Annahme jeden Spielers, sich auf der höchsten Stufe aller Spieler im Spiel zu befinden. Auf einer gewissen Stufe-k werden Spieler die Tatsache vernachlässigen, dass andere Spieler ebenso Stufe-k oder sogar höher sein könnten. Dieses Verhalten wurde vielen Faktoren zugeschrieben, wie Instandhaltungskosten oder schlichtweg Selbstüberschätzung.
Stahl und Wilsons Modell In der Version von Stahl und Wilson ermitteln die Spieler ihre beste Antwort nicht fehlerfrei. Zwar wird wie auch in Nagels Modell eine gleichmäßige Verteilung der Handlungen der Stufe-0 Spieler über alle möglichen Handlungen angenommen, jedoch wird dies als unpräzise angesehen. Die Fehler äußern sich darin, dass Stufe-1 und Stufe-2 Spieler beste Antworten finden, wobei Handlungen mit höherer Auszahlung mit einer höheren Wahrscheinlichkeit gewählt werden.
Spielertypen höherer Stufe werden in dieser Form der Stufe-k Argumentation nicht in Betracht gezogen. Neben den klassischen Stufe-k Spielertypen führen Stahl und Wilson weitere Typen ein. Der naive Nash Spieler wählt das Nash-Gleichgewicht, der weltliche Spieler findet eine beste Antwort auf die Verteilung der Stufe-k Spieler und der naiven Nash Spieler, und der rationale Erwartungen Spieler findet eine beste Antwort basierend auf der korrekten Vermutung über die Häufigkeit alle anderer Typen. Bis auf letzteren können die beiden anderen Spielertypen ebenfalls in Nagels Modell abgebildet werden.
Das klassische Spiel: Schönheitswettbewerb (Beauty Contest) Das wohl am häufigsten studierte Beispiel für das abweichende Verhalten der Spieler in Experimenten im Zusammenhang mit der Stufe-k Argumentation ist der Schönheitswettbewerb nach John Maynard Keynes. Rosemarie Nagel hat das Spiel auf folgende Weise beschrieben: Angenommen es gibt viele Spieler, von denen jeder gleichzeitig eine ganze Zahl aus dem Zahlenbereich wählt. Gewonnen hat der Spieler, dessen gewählte Zahl am nächsten am Mittelwert aller gewählten Zahlen (multipliziert mit einem allgemein bekannten Parameter , wobei in der Regel ) liegt. Sind zwei oder mehr Spieler gleich weit von dieser Zahl entfernt, wird die Auszahlung gleichmäßig unter den Gewinnern aufgeteilt (oder per Los entschieden, wer gewonnen hat).
Nash-Gleichgewicht durch iterative Elimination strikt dominierter Strategien Die Standardlösung für den Schönheitswettbewerb nach Keynes wird durch iterative Elimination strikt dominierter Strategien bestimmt. Sei für alle nachfolgenden Betrachtungen des Schönheitswettbewerbs.
Ein vollständig rationaler Spieler wird beobachten, dass der höchstmögliche Mittelwert multipliziert mit 67 beträgt. Dieser Spieler wird ebenfalls vorhersagen, dass die anderen Spieler dies auch wissen und sich entsprechend verhalten werden, so dass die maximal mögliche Zahl 45 wird. Das wiederum sollten auch die anderen Spieler wissen. Dieser Vorgang wiederholt sich auf unbestimmte Zeit und endet damit, dass alle Spieler 0, das Nash-Gleichgewicht, für dieses Spiel auswählen. Sofern nur ganze Zahlen erlaubt sind, gibt es zusätzlich noch das Nash-Gleichgewicht, in dem alle Spieler 1 auswählen.
Stufe-k Argumentation im Schönheitswettbewerb In Experimenten beobachtet man jedoch, dass die meisten Spieler Zahlen um entweder 22 oder 33 wählen. Mithilfe der Stufe-k Argumentation lässt sich dies erklären: Ein Stufe-1 Spieler nimmt an, dass alle anderen Stufe-0 Spieler sind, also eine Zahl nicht-strategisch (z. B. zufällige Zahl, Zahl mit spezieller Bedeutung für den Spieler) wählen. In Nagels Modell sind diese Zufallszahlen gleichmäßig über alle möglichen Zahlen verteilt, so dass der Mittelwert 50 beträgt. Als beste Antwort wählt ein Stufe-1 Spieler entsprechend 33. Ein Stufe-2 Spieler wiederum nimmt an, dass alle anderen Stufe-1 Spieler sind und wählt als beste Antwort 22. Dieser Vorgang wiederholt sich für Spieler höherer Stufen entsprechend.
Die beobachteten Abweichungen vom Nash-Gleichgewicht stimmen also mit den Spielertypen der ersten und zweiten Stufe überein und unterstützen die Stufe-k Argumentation. Nur ein kleiner Anteil von Spielern weist tiefergehende Gedankengänge als die der Stufe-2 auf.
Beschränkungen der Stufe-k Argumentation Stufe-0 Spieler Die Verteilung der Stufe-0 Spieler innerhalb der Population ist essenzieller Bestandteil der Stufe-k Argumentation, da sie das Fundament für die Entscheidungen aller Spielertypen einer höheren Stufe bildet. In der Literatur herrscht bisweilen die die Meinung vor, dass es sich bei diesem grundlegenden Spielertyp nur um ein Konstrukt in den Köpfen der Spieler höherer Stufen handelt.Ho, Teck-Hua und Xuanming Su. “A Dynamic Level-k Model in Sequential Games”. Management Science. 59(2):452-469. 2013Kawagoe, Toshiji, und Hirokazu Takizawa. "Level-k Analysis of Experimental Centipede Games". Journal of Economic Behavior & Organization. 82(2-3):548-566. 2009 Empirisch ist Stufe-0 Verhalten nicht nur schwer nachzuweisen, sondern es gibt sogar Untersuchungen, die mit einer allgemeinen diskreten Verteilung zeigen, dass der geschätzte Anteil solcher Spielertypen häufig 0 ist.Costa-Gomes, Miguel und Vincent P. Crawford. "Cognition and Behavior in Two-person Guessing Games: An Experimental Study". American Economic Review. 96(5):1737-1768. 2006Crawford, Vincent P., und Nagore Iriberri. "Fatal Attraction: Salience, Naivete, and Sophistication in Experimental Hide-and-seek Games". American Economic Review. 97(5): 1731–1750. 2007Crawford, Vincent P., und Nagore Iriberri. "Level‐k Auctions: Can a Nonequilibrium Model of Strategic Thinking Explain the Winner's Curse and Overbidding in Private‐Value Auctions?". Econometrica. 75(6):1721-1770. 2007
Im Allgemeinen gehen sowohl die ursprünglichen Versionen der Stufe-k Argumentation nach Nagel sowie Stahl und Wilson als auch die meisten späteren Erweiterungen und Modellierungen davon aus, dass Stufe-0 Spieler ihre Handlung zufällig aus allen möglichen Handlungen auswählen und diese somit gleichmäßig über alle möglichen Handlungen verteilt sind. Eine alternative Annahme an Stufe-0 Verhalten ist es, dass derartige Spielertypen die herausstechende Wahl unter allen möglichen Handlungen auswählen.Chong, Juin-Kuan, Teck-Hua Ho, und Colin Camerer. "A Generalized Cognitive Hierarchy Model of Games". Games and Economic Behavior, 99: 257-274. 2016
Es zeigt sich hieran, dass Stufe-0 Spieler nicht nur existenziell für das Bestimmen der höheren Stufen der strategischen Überlegungen sind, sondern auch immer gewisser Annahmen bedürfen. Entsprechend wird unter anderem je nach Kontext, Spielformat und/oder Forschungsfrage ein anderes Stufe-0 Verhalten angenommen. Welche Spezifikation die beste ist, wird teilweise als eine empirische Herausforderung angesehen.
Kategorisierung der Spielertypen Im Rahmen der Stufe-k Argumentation stellt auch die Problematik der reinen Beobachtungsdaten eine große Herausforderung für Ökonomen dar. Nicht selten lässt sich anhand des Verhaltens der Spieler alleine nur schwer die tatsächlich zugrundeliegende Entscheidungsregel ableiten. Daher versuchen Verhaltenstheoretiker zunehmend, Methoden zu entwickeln, mithilfe derer zusätzliche Informationen über die Entscheidungsprozesse der Spieler gewonnen werden können.
Typischerweise sammeln Ökonomen Daten für ein bestimmtes Spiel und finden danach eine geeignete Verteilung der Spielertypen innerhalb der Population. Derartige ex post Verteilungen geben möglicherweise keinen Aufschluss darüber, ob eine Entscheidung auf eine bestimmte Stufe strategischer Überlegungen oder eine andere zugrundeliegende Entscheidungsregel zurückzuführen ist.Arad, Ayala und Ariel Rubinstein. "The 11-20 Money Request Game: A Level-K Reasoning Study". American Economic Review. 102(7):3561-3573. 2012