Die Beschleunigung in der speziellen Relativitätstheorie (SRT) ist, wie in der Newtonschen Mechanik, die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Da in der SRT jedes Inertialsystem seine eigene Uhr mitführt, es also keine absolute Zeit gibt, folgen daraus komplexere Definitionen der Beschleunigung. Die SRT als Theorie der flachen Minkowski-Raumzeit ist also durchaus in der Lage, beschleunigte Bewegungen zu beschreiben, entgegen einer häufigen Fehlannahme.Roger Penrose: The Road to Reality. New York 2005, S. 422.

Überblick Im Einzelnen können folgende Arten von Beschleunigungen unterschieden werden, die allesamt eng miteinander verbunden sind:

Dreierbeschleunigung: Sie ist analog zur gewöhnlichen Beschleunigung der Newtonschen Mechanik in drei räumlichen Dimensionen definiert und beschreibt die Bewegung eines Teilchens unter Benutzung von Maßstäben und Uhren des Labors. In der Newtonschen Mechanik ist die Zeit absolut, was dazu führt, dass die Newtonsche Dreierbeschleunigung nicht von der Wahl des Inertialsystems abhängt, in dem das Labor ruht. In der SRT hingegen hängt neben den drei Raumkoordinaten auch die Zeitkoordinate vom Inertialsystem ab (Koordinatenzeit), weswegen die daraus abgeleitete Dreierbeschleunigung ebenfalls vom Inertialsystem abhängt und dementsprechend als Koordinatenbeschleunigung bezeichnet werden kann. Durch die Transformationsformeln der Dreierbeschleunigung wird garantiert, dass die Geschwindigkeit des beschleunigten Teilchens in keinem Inertialsystem die Lichtgeschwindigkeit erreicht.

Viererbeschleunigung: Da in der SRT nicht nur die drei Raumkoordinaten, sondern auch die Zeitkoordinate transformiert wird, erweist sich die Zusammenfassung dieser Koordinaten als Vierervektor vorteilhaft. Zusammenhänge in der diesem Vorgehen zugrunde liegenden vierdimensionalen Raumzeit lassen sich dabei anschaulich in Minkowski-Diagrammen darstellen, in denen die Weltlinien beschleunigter Körper gekrümmt sind. Dabei entspricht die Viererbeschleunigung dem Krümmungsvektor der Weltlinie in einem Raumzeitpunkt. Ein Unterschied zur Dreierbeschleunigung ist neben der Anzahl der Vektorkomponenten der Umstand, dass die Ableitung der Dreiergeschwindigkeit immer in Bezug auf die Koordinatenzeit der Uhren des Labors erfolgt, wohingegen die Ableitung von Vierervektoren einschließlich der Viererbeschleunigung bezüglich einer mit dem Objekt mitbewegten Uhr erfolgt (Eigenzeit). Die Viererbeschleunigung, dargestellt als Funktion der gewöhnlichen Dreiergeschwindigkeit und Dreierbeschleunigung, dient auch als alternatives Verfahren zur Untersuchung von Eigenschaften der Dreierbeschleunigung, bei dem nicht auf die Transformationsformeln der Dreierbeschleunigung zurückgegriffen werden muss.

Eigenbeschleunigung: Sie ist diejenige Dreierbeschleunigung, die sich ergibt, wenn Maßstäbe und Uhren mit dem beschleunigten Teilchen mitbewegt werden. Sie ist von besonderer praktischer Bedeutung, da sie direkt von einem mitbewegten Beschleunigungssensor abgelesen werden kann und somit im Gegensatz zur Koordinatenbeschleunigung nicht von der Wahl des Inertialsystems abhängt (Invarianz der Eigenbeschleunigung). In formaler Hinsicht entspricht der Betrag der Eigenbeschleunigung dem Betrag der Viererbeschleunigung und stellt im Minkowski-Diagramm die Krümmung der Weltlinie an einem Raumzeitpunkt dar. Alternativ folgt sie aus der gewöhnlichen Dreierbeschleunigung, wenn sich das zur Beschreibung benutzte Inertialsystem für einen Augenblick mit derselben Geschwindigkeit bewegt wie das beschleunigte Teilchen (momentanes Inertialsystem). Eine gekrümmte Weltlinie entspricht somit einer Abfolge von momentanen Inertialsystemen.

Mit diesen Konzepten können Bewegungsgleichungen formuliert werden, die wie in der Newtonschen Mechanik Beschleunigung und Kraft miteinander verbinden. Gleichungen für verschiedene Beschleunigungsarten und ihre gekrümmten Weltlinien folgen aus diesen Formeln durch Integration. Bekannte Fälle sind die Hyperbelbewegung für konstante longitudinale Eigenbeschleunigung und die gleichförmige Kreisbewegung für konstante transversale Eigenbeschleunigung. Die Auswertung der entsprechenden Weltlinien zeigt beispielsweise beim Zwillingsparadoxon eindeutig auf, wer beim Zusammentreffen nach der Rückkehr älter ist. Darüber hinaus ist es möglich, diese Bewegungen in beschleunigten Bezugssystemen im Rahmen der SRT zu beschreiben, wobei Effekte analog zu homogenen Gravitationsfeldern auftreten (welche formell Ähnlichkeiten mit den realen, inhomogenen Gravitationsfeldern der gekrümmten Raumzeit der ART haben). Beispiele für solche Bezugssysteme sind beispielsweise die Rindler-Koordinaten für die Hyperbelbewegung und die Born- oder Langevinkoordinaten für die gleichförmige Kreisbewegung.

Dreierbeschleunigung Sowohl in der Newtonschen Mechanik als auch der SRT ist die gewöhnliche Dreierbeschleunigung oder Koordinatenbeschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Koordinatenzeit (die Zeit, die von dauerhaft in einem Inertialsystem ruhenden und miteinander synchronisierten Uhren angezeigt wird) oder die zweite Ableitung des Ortes nach der Koordinatenzeit:

.

Die Theorien unterscheiden sich in ihren Vorhersagen bezüglich der Transformation der Dreierbeschleunigung eines Objekts zwischen verschiedenen Inertialsystemen. In der Newtonschen Mechanik ist die Zeit absolut mit in Übereinstimmung mit der Galilei-Transformation, weswegen auch die davon abgeleitete Dreierbeschleunigung in allen Inertialsystemen gleich ist:Sexl & Schmidt (1979), p. 116

.

Im Gegensatz dazu hängen in der SRT sowohl als auch vom Bezugssystem ab, weswegen auch die Dreierbeschleunigung und ihre Komponenten in verschiedenen Inertialsystemen unterschiedlich sind. Die Transformation, die die Raumzeitkomponenten in den verschiedenen Inertialsystemem überführt, ist eine Lorentztransformation. Diese hat die Form

mit der Transformationsmatrix , wobei die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit und der Lorentzfaktor ist. Die Indices an und dienen der Klarheit, auf welche Geschwindigkeit – der Geschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen oder der Geschwindigkeit des Objekts – sich der Faktor bezieht. Der allgemeine Zusammenhang zwischen gestrichenen und ungestrichenen Koordinaten lautet dann:Møller (1955), p. 41

Um daraus die Transformation der Dreierbeschleunigung zu finden, werden die räumlichen Koordinaten zweimal nach abgeleitet. Dies ergibt das Resultat für den allgemeinen Fall von beliebigen Richtungen der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen:Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), S. 141Rahaman (2014), S. 77

Wenn zwei Inertialsysteme und mit der Relativgeschwindigkeit gegeben sind, wird in die Beschleunigung eines Objekts mit der augenblicklichen Geschwindigkeit gemessen, wohingegen dasselbe Objekt in die Beschleunigung und die augenblickliche Geschwindigkeit besitzt. Diese Beschleunigungstransformationen sind so beschaffen, dass die resultierende Geschwindigkeit eines beschleunigten Objekts aus Sicht irgendeines Inertialsystems niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen oder überschreiten kann.

Wenn die Komponenten der Beschleunigungen parallel und orthogonal zur Relativgeschwindigkeit der Bezugssysteme getrennt angegeben werden, vereinfachen sich die Formeln (1a) zu:Tolman (1917), p. 48French (1968), p. 148Zahar (1989), p. 232Freund (2008), p. 96

Um die ungestrichenen Größen aus den gestrichenen zu berechnen, ist es ausreichend, alle ungestrichenen und gestrichenen Variablen zu vertauschen. Dabei ist zu beachten, dass ist.

Viererbeschleunigung In der Relativitätstheorie ist es oft vorteilhaft, Vierervektoren statt Dreiervektoren zu benutzen, wobei hier die Ableitung nicht nach der Koordinatenzeit erfolgt, sondern nach der Eigenzeit (also der Zeit, die von einer mit dem Objekt mitbewegten Uhr gemessen wird). Ausgehend von der Viererposition erhält man durch Ableitung die Vierergeschwindigkeit , und durch eine weitere Ableitung die Viererbeschleunigung :Pauli (1921), p. 627Freund (2008), pp. 267–268Ashtekar & Petkov (2014), p. 53

wo die Dreierbeschleunigung des Objekts und seine augenblickliche Geschwindigkeit in Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit und der entsprechende Lorentzfaktor ist. Für die Fälle, in denen die Dreierbeschleunigung parallel oder orthogonal auf der Dreiergeschwindigkeit steht, vereinfacht sich der räumliche Anteil der Viererbeschleunigung zu

Die Komponenten des Vierervektors im Inertialsystem sind mit den Komponenten des Vierervektors in durch eine Lorentz-Transformationen verbunden.

Eine weitere Eigenschaft von Vierervektoren ist, dass ihr Betragsquadrat unter der Minkowski-Metrik in jedem Inertialsystem gleich ist. Für die Viererbeschleunigung lautet es:Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), p. 137

Eigenbeschleunigung In infinitesimalen Zeitabständen ist immer ein Inertialsystem vorhanden, das augenblicklich dieselbe Geschwindigkeit wie der beschleunigte Körper hat, und in welches eine Lorentz-Transformation gültig ist. Die in solchen momentanen Inertialsystemen auftretende Dreierbeschleunigung wird von einem mitbewegten Beschleunigungssensor gemessen und wird als EigenbeschleunigungRindler (1977), pp. 49–50 oder Ruhebeschleunigungvon Laue (1921), pp. 88–89 bezeichnet. Die Beziehung zwischen in einem momentanen Inertialsystem und in einem externen Inertialsystem folgt aus (1a, 1b) durch Setzen von , . Da dann nicht mehr zwischen verschiedenen Betas und Gammas unterschieden werden muss, können die Indizes unterdrückt werden.

Für beliebige Geschwindigkeiten gilt dann:Rebhan (1999), p. 775Nikolić (2000), eq. 10

Für ergibt sich .

Wenn die Beschleunigungen parallel oder senkrecht zur Geschwindigkeit sind, folgt aus (1b):

Die Viererbeschleunigung lässt sich auch in einem momentan mitbewegten Inertialsystem , in welchem und wie folgt berechnen:Rindler (1977), p. 67

Die Norm der Viererbeschleunigung entspricht der (negativen) Norm der Eigenbeschleunigung. Es kann daher eine Verbindung mit (2b) hergestellt werden, wodurch eine alternative Methode zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen in und in gegeben ist

woraus wieder (3a) folgt, wenn die Beschleunigung parallel oder senkrecht zur Geschwindigkeit steht.

Beschleunigung und Kraft

Wird die Masse als konstant angenommen, ergibt sich die Beziehung zwischen der Viererbeschleunigung (2a) und der Viererkraft (als Funktion der Dreierkaft ) analog zur Newtonschen Kraftdefinition mit , alsoFreund (2008), p. 276

Während bei diesen Vierervektoren also eine gewisse Analogie zur Newtonschen Kraftdefinition vorliegt, ist diese bei den entsprechenden Dreiervektoren nicht mehr gegeben. Aus obigen räumlichen Komponenten folgt eine kompliziertere Beziehung zwischen der Dreierkraft und Dreierbeschleunigung für beliebige Richtungen der Geschwindigkeit:Rindler (1977), pp. 89–90Sexl & Schmidt (1979), solution of example 16.2, p. 198

Insbesondere stehen Dreierbeschleunigung und Dreierkraft von Objekten, die sich mit relativistischer Geschwindigkeit bewegen, nicht parallel zueinander.

Wenn die Beschleunigung parallel oder senkrecht zur Geschwindigkeit sind, dann folgt daraus:

Deswegen ist die Newtonsche Definition der Masse als das Verhältnis von Dreierkraft zur Dreierbeschleunigung in der SRT unvorteilhaft, denn diese Masse würde sowohl von der Geschwindigkeit als auch von der Richtung abhängen. Die folgenden Massendefinitionen finden sich nur in alten Lehrbüchernvon Laue (1921), p. 210Pauli (1921), p. 635 und werden heute nicht mehr verwendet:

als „longitudinale Masse“,

als „transversale Masse“.

Gleichung (4b) zwischen Dreierbeschleunigung und Dreierkraft kann auch aus der bekannten relativistischen Bewegungsgleichung gewonnen werden:Tolman (1917), pp. 73–74Møller (1955), pp. 74–75