Der Dichtheitssatz von Borel (engl.: Borel density theorem) ist ein Lehrsatz der Mathematik, der Gitter in algebraischen Gruppen, wie zum Beispiel in , charakterisiert.
Er besagt, dass jede auf einem Gitter verschwindende polynomielle Funktion auf der gesamten algebraischen Gruppe identisch 0 sein muss.
Satz Sei eine zusammenhängende halbeinfache -algebraische Gruppe ohne kompakten Faktor, und sei ein Gitter in .
Dann ist Zariski-dicht in .
Anwendungen Im Folgenden setzen wir voraus, dass und die Voraussetzungen des Dichtheitssatzes erfüllen. Wenn eine irreduzible polynominelle Darstellung von ist, dann ist die Einschränkung von auf ebenfalls eine irreduzible Darstellung. Wenn eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe von normalisiert wird, dann ist sie ein Normalteiler von . Der Zentralisator von in ist das Zentrum von . Jeder endliche Normalteiler von ist in enthalten. ist eine Untergruppe von endliche Index in seinem Normalisator. Es gibt eine Zerlegung , so dass ein irreduzibles Gitter in und mit kommensurabel ist. Für polynomiale Funktionen auf gilt:
Literatur Armand Borel: Density properties for certain subgroups of semi-simple groups without compact components. Ann. of Math. (2) 72, 179–188, 1960. M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 68. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972. R. J. Zimmer: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984. D. Witte Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2/pbk 978-0-9865716-1-9/hbd
Kategorie:Gruppentheorie Kategorie:Satz (Mathematik)