Das Spektrum eines linearen Operators ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. In der endlichdimensionalen linearen Algebra betrachtet man Endomorphismen, die durch Matrizen dargestellt werden, und ihre Eigenwerte. Die Verallgemeinerung ins Unendlichdimensionale wird in der Funktionalanalysis betrachtet. Das Spektrum eines Operators kann man sich als Menge verallgemeinerter Eigenwerte vorstellen. Diese werden Spektralwerte genannt.

Zusammenhang der Spektraltheorie mit der Eigenwerttheorie

Die Spektraltheorie linearer Operatoren aus der Funktionalanalysis ist eine Verallgemeinerung der Eigenwerttheorie aus der linearen Algebra. In der linearen Algebra werden Endomorphismen auf endlichdimensionalen Vektorräumen betrachtet. Die Zahlen , für die die Gleichung

Lösungen , also ungleich dem Nullvektor, hat, werden Eigenwerte und die Lösungen Eigenvektoren genannt, wobei eine Darstellungsmatrix des gewählten Endomorphismus ist. Bezeichnet die Einheitsmatrix, so sind Eigenwerte also Zahlen mit , für die also nicht injektiv ist. Das ist im Endlichdimensionalen gleichbedeutend damit, dass der Endomorphismus nicht surjektiv oder nicht bijektiv ist, das heißt, dass die Matrix keine Inverse hat. Betrachtet man jedoch unendlichdimensionale Räume, so ist es notwendig zu unterscheiden, ob der Operator nicht invertierbar, nicht injektiv und/oder nicht surjektiv ist, denn im unendlichdimensionalen Fall folgt aus der Injektivität eines Endomorphismus nicht automatisch die Surjektivität. Im Folgenden wird der Begriff Spektrum in der Funktionalanalysis erläutert.

Definition Das Spektrum eines Operators ist die Menge aller Elemente des Zahlenkörpers (meistens die komplexen Zahlen), für die die Differenz des Operators mit dem -fachen der identischen Abbildung

nicht beschränkt-invertierbar ist, das heißt, dass es keine Inverse gibt oder diese nicht beschränkt sind.

Das Spektrum des Operators wird mit bezeichnet und die Elemente des Spektrums heißen Spektralwerte.

Das Spektrum linearer Operatoren

Die obige Definition lässt sich in verschiedenen Kontexten anwenden. In diesem Abschnitt wird das Spektrum linearer Operatoren eines Vektorraums betrachtet. Die Spektraltheorie von linearen Operatoren lässt sich allerdings nur dann in einem gewissen Umfang ausbauen, wenn die Menge der zu betrachtenden Operatoren spezifiziert wird. Beispielsweise könnte man sich auf beschränkte, kompakte oder selbstadjungierte Operatoren einschränken. Im Folgenden sei ein linearer Operator auf einem komplexen Banachraum .

Resolvente

Die Resolventenmenge besteht aus allen komplexen Zahlen , so dass es einen auf definierten beschränkten Operator gibt mit

.

Der Operator heißt Resolvente des Operators . Das Komplement zur Resolventenmenge ist die Menge der komplexen Zahlen, für die die Resolvente nicht existiert oder unbeschränkt ist, also das Spektrum des Operators , das heißt, es gilt . In der Literatur findet sich auch die Definition , was zu einem anderen Vorzeichen der Resolvente führt.Reinhold Meise, Dietmar Vogt: Einführung in die Funktionalanalysis, Vieweg, Braunschweig 1992, ISBN 3-528-07262-8, §17Włodzimierz Mlak: Hilbert Spaces and Operator Theory, Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, Kapitel 3.4 Die Resolventenmenge ist unabhängig von dieser Vorzeichenkonvention, da ein Operator genau dann invertierbar ist, wenn der mit −1 multiplizierte Operator invertierbar ist.

Aufteilung des Spektrums Das Spektrum lässt sich in verschiedene Anteile untergliedern. Einmal wird eine Unterteilung in das Punktspektrum, das stetige Spektrum und das Residualspektrum vorgenommen. Diese Komponenten des Spektrums unterscheiden sich gewissermaßen durch den Grund der Nichtexistenz einer beschränkten Resolvente. Eine andere Zerlegung des Spektrums ist die in das diskrete und das wesentliche Spektrum. Für das Spektrum eines selbstadjungierten Operators gibt es noch die dritte Möglichkeit, es in ein Punkt- und ein stetiges Spektrum zu unterteilen, dies wird im Abschnitt zu den selbstadjungierten Operatoren beschrieben. Dabei ist das stetige Spektrum eines selbstadjungierten Operators nicht äquivalent zum stetigen Spektrum, das im folgenden Unterabschnitt definiert wird.

Das Punktspektrum (Eigenwertspektrum, diskontinuierliches Spektrum)

Wenn der Operator nicht injektiv ist, das heißt , dann ist ein Element des Punktspektrums von . Die Elemente des Punktspektrums werden Eigenwerte genannt.

Das stetige Spektrum (kontinuierliches Spektrum, Stetigkeitsspektrum, Streckenspektrum)

Wenn der Operator injektiv, jedoch nicht surjektiv ist, aber ein dichtes Bild besitzt, das heißt, es existiert ein Inverses, das jedoch nur auf einem dichten Teilraum des Banachraumes definiert ist, dann ist ein Element des stetigen Spektrums von .

Das Residualspektrum (Restspektrum)

Wenn der Operator injektiv ist, jedoch kein im Banachraum dichtes Bild besitzt, dann ist ein Element des Residualspektrums von . In diesem Fall ist insbesondere nicht surjektiv. Der zu inverse Operator existiert, ist jedoch lediglich auf einem nicht dichten Teilraum von definiert.

Spektrum nicht beschränkter Resolventen

Denkbar wäre auch noch ein vierter Teil des Spektrums , in dem der Operator zwar bijektiv ist, aber die Resolvente kein beschränkter Operator ist. Falls jedoch ein Banachraum ist, ist (falls existent) immer ein beschränkter Operator nach dem Satz vom stetigen Inversen, d. h. . Daher gilt auf Banachräumen die Zerlegung

.

Ist jedoch kein Banachraum, kann es auch unbeschränkte Resolventen geben, d. h. im Allgemeinen gilt und

ist daher die vollständige (disjunkte) Zerlegung des Spektrums.

Diskretes und wesentliches Spektrum

Die Menge aller isolierten Spektralwerte mit endlicher Vielfachheit wird diskretes Spektrum genannt und mit notiert. Das Komplement heißt das wesentliche Spektrum von . Jedoch gibt es auch andere zu dieser Definition nicht äquivalente Definitionen des wesentlichen und des diskreten Spektrums.Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3. Aufl., B.G. Teubner, Stuttgart 1992. ISBN 3-519-22206-X, S. 520–521.

Approximatives Punktspektrum Falls zu einem eine Folge in existiert mit

so nennt man einen approximativen Eigenwert von . Die Menge aller approximativen Eigenwerte wird als approximatives Punktspektrum oder approximatives Eigenwertspektrum bezeichnet. Es gilt:

Falls ein beschränkter Operator ist, gilt außerdem

Beispiele Multiplikationsoperator für Funktionen

Ein interessantes Beispiel ist der Multiplikationsoperator auf einem Funktionenraum , der die Funktion auf die Funktion abbildet, also mit .

Betrachtet man auf dem Raum der beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm, so ist sein Spektrum das Intervall und alle Spektralwerte gehören zum Punktspektrum.

Betrachtet man ihn auf dem Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen , so ist das Spektrum wiederum das Intervall und alle Spektralwerte gehören zum kontinuierlichen Spektrum.

Betrachtet man ihn schließlich auf dem Raum der stetigen Funktionen, so ist sein Spektrum wieder das Intervall und alle Spektralwerte gehören zum residualen Spektrum.

Multiplikationsoperator für Folgen Ist eine beschränkte Folge in , so ist

ein stetiger, linearer Operator auf dem Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen und es ist

der Abschluss der Menge der Folgenglieder. Insbesondere kommt jede kompakte Teilmenge von auch als Spektrum eines Operators vor. Ist eine solche Menge, so wähle eine dichte, abzählbare Teilmenge und betrachte obigen Operator.

Spektren kompakter Operatoren Die kompakten Operatoren bilden beschränkte Mengen des Banachraumes auf relativkompakte Mengen desselben Banachraumes ab. Diese Klasse von Operatoren bildet für sich eine Banachalgebra, die zudem ein Norm-abgeschlossenes Ideal innerhalb der Algebra aller beschränkten Operatoren bildet.

Das Spektrum kompakter Operatoren ist erstaunlich einfach in dem Sinne, dass es fast nur aus Eigenwerten besteht. Dieses Resultat geht auf Frigyes Riesz zurück und lautet präzise:

Für einen kompakten Operator auf einem unendlichdimensionalen Banachraum gilt, dass ein Spektralwert und jedes ein Eigenwert mit endlicher Multiplizität ist, das heißt, der Kern von ist endlichdimensional, und besitzt keinen von verschiedenen Häufungspunkt.

Spektren selbstadjungierter Operatoren In der Quantenmechanik treten die selbstadjungierten Operatoren auf Hilberträumen als mathematische Formalisierung der beobachtbaren Größen, sogenannter Observablen, auf. Die Elemente des Spektrums sind mögliche Messwerte. Daher sind folgende Aussagen von grundlegender Bedeutung:H. Triebel: Höhere Analysis, Verlag Harri Deutsch, ISBN 3-87144-583-5, §18: Das Spektrum selbstadjungierter Operatoren

Eigenschaften Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators ist in enthalten. Ist selbstadjungiert und beschränkt, so liegt sein Spektrum im Intervall und enthält einen der Randpunkte. Ist , so gilt . Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Selbstadjungierte Operatoren auf einem separablen Hilbertraum haben daher höchstens abzählbar viele Eigenwerte. Das Residualspektrum eines selbstadjungierten Operators ist leer.Wlodzimierz Mlak: Hilbert Spaces and Operator Theory, Polish Scientific Publishers (1991), ISBN 83-01-09965-8, Theorem 4.1.5

Ist ein selbstadjungierter Operator, der auch ein unbeschränkter Operator sein kann, in einem Hilbertraum , so ist diesem Operator eine Spektralschar von Orthogonalprojektionen zugeordnet. Für jedes ist die Funktion die Verteilungsfunktion eines Maßes auf . Die Eigenschaften dieser Maße geben Anlass zur Definition von Teilräumen, auf die der Operator eingeschränkt werden kann. Die Spektren dieser Einschränkungen sind dann Bestandteile des Spektrums von . Dadurch erhält man neue Beschreibungen der bereits oben genannten Teile des Spektrums und weitere Unterteilungen.J. Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen, Teubner-Verlag (1976), ISBN 3-519-02204-4, Kapitel 7.4: Spektren selbstadjungierter Operatoren Das Punktspektrum

heißt unstetiger Teilraum von bzgl. . Es gilt , das heißt, das Spektrum der Einschränkung ist der Abschluss des Punktspektrums von . Gilt , so ist und man sagt, habe ein reines Punktspektrum.

Das stetige Spektrum

heißt stetiger Teilraum von bzgl. . ist das stetige Spektrum von . Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein stetiges Spektrum.

Das singuläre Spektrum

heißt singulärer Teilraum von bzgl. . Das Maß zu einem ist dann singulär in Bezug auf das Lebesgue-Maß. ist das singuläre Spektrum von . Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein singuläres Spektrum.

Das singuläre stetige Spektrum

heißt singulär stetiger Teilraum von bzgl. . ist das singulär stetige Spektrum von . Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein singulär stetiges Spektrum.

Das absolutstetige Spektrum

heißt absolutstetiger Teilraum von bzgl. . Das Maß zu einem ist dann absolutstetig in Bezug auf das Lebesgue-Maß. ist das absolutstetige Spektrum von . Gilt , so ist und man sagt, habe ein rein absolutstetiges Spektrum.

Beziehungen der Spektren Es gelten , , . Daraus ergeben sich , , . Die Teile , , und sind abgeschlossen, denn es handelt sich um Spektren. Für das Punktspektrum gilt das im Allgemeinen nicht.

Spektraltheorie für Elemente einer Banachalgebra