Die empirische VarianzHenze 2013: S. 31ff, auch StichprobenvarianzBehrends 2013: S. 274f (veraltet: empirisches Streuungsquadrat) oder einfach nur kurz Varianz genannt, ist ein Maß für die Streuung von konkreten (empirisch erhobenen) Werten einer Stichprobe.
Bei der empirischen Varianz handelt es sich um einen Begriff aus der beschreibenden (deskriptiven) Statistik für die Varianz. Sie gehört zu den Streuungsmaßen und beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Werte vom empirischen Mittelwert. Sie entspricht damit dem „durchschnittlichen Abweichungsquadrat“.
Die Wurzel der empirischen Varianz ist die empirische Standardabweichung. Die empirische Standardabweichung stellt das gebräuchlichste Streuungsmaß dar. Sie ist anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte.
Die empirische Varianz ist jedoch in weitergehenden Berechnungen oft praktischer als die Standardabweichung: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden. Umgekehrt lässt sich durch eine Varianzanalyse eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen.
Voraussetzungen Varianz der Grundgesamtheit Die Varianz einer endlichen Grundgesamtheit (Population) mit reellen Datenwerten ist ein Maß für die Streuung der einzelnen -Werte, um den Populationsmittelwert und ist definiert als
Der Populationsmittelwert ist das arithmetische Mittel der Datenwerte .
Die Varianz der Grundgesamtheit ist in praktischen Situationen häufig unbekannt, beispielsweise, weil es nicht möglich ist, jedes einzelne Subjekt in der Population zu erfassen (Vollerhebung). Um die Varianz zu ermitteln, werden daher empirisch Stichproben erhoben. Das führt zu den Begriffen empirische Varianz oder auch Stichprobenvarianz.
Empirischer Mittelwert Gegeben sei eine Stichprobe mit reellen numerischen Werten . Es bezeichne
den empirischen Mittelwert der Stichprobe. Dieser empirische Mittelwert ist ein Schätzer für den Populationsmittelwert .
Berechnung der empirischen Varianz Zunächst werden die Abweichungen der beobachteten reellen Werte der Stichprobe von ihrem arithmetischen Mittel gebildet. Summierung und Quadrierung ergibt die sogenannte Abweichungsquadratsumme .
Die Verwendung der Abweichungsquadratsumme führt zu folgenden Eigenschaften der empirischen Varianz:
Positive und negative Abweichungen vom Mittelwert heben sich bei der Summierung nicht gegenseitig auf. Die Varianz einer Stichprobe ist daher immer positiv (oder null). Eine größere Varianz entspricht einer größeren Unterschiedlichkeit der Werte. Wenige aber starke Ausreißer haben einen großen Einfluss auf das Ergebnis.
Die empirische Varianz kann damit auf folgende Arten berechnet werden:
Am gebräuchlichsten ist die Berechnung der empirischen Varianz der Stichprobenwerte als Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl der Freiheitsgrade :
Formel (1) wird auch korrigierte empirische Varianz oder korrigierte Stichprobenvarianz genanntBeyer 1988Kabluchko 2017, Kapitel 1.4: Empirische Varianz. Der Vorsatz „korrigierte …“ bezieht sich auf den Faktor , der auch als Bessel-Korrektur bezeichnet wird.Kabluchko 2017, Kapitel 1.4: Empirische Varianz Die Korrektur führt dazu, dass ein erwartungstreuer Schätzer für die Populationsvarianz ist: Das bedeutet, dass der Erwartungswert von gerade ist.
Alternativ wird die empirische Varianz (nicht erwartungstreu) berechnet als Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl der Werte :Cleff 2015: S. 56
Für den Sonderfall, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit bekannt ist, wird die Varianz mit folgender Formel berechnet, die ebenfalls einen erwartungstreuen Schätzer darstellt:Hartung 2005: S. 153f
Weitere Erläuterung zu den Berechnungsarten
Intuitiv lässt sich die Mittelung durch in Formel (1) statt durch wie folgt erklären:
Bei Formel (1) geht es um die Schätzung der Varianz der Grundgesamtheit, aus der die Stichprobe entnommen wurde. Aufgrund der Schwerpunkteigenschaft des empirischen Mittels ist die letzte Abweichung bereits durch die ersten bestimmt. Folglich variieren nur Abweichungen frei. D.h. man mittelt deshalb, indem man durch die Anzahl der Freiheitsgrade dividiert. Besonders augenscheinlich wird das, wenn man den Fall betrachtet: Bei 2 Datenwerten gibt es nur 1 Unterschied zwischen den Daten. Und mit einer Stichprobe mit kann man gar keine Aussage über die Varianz einer Grundgesamtheit machen.
Diese Plausibilisierung wird im Rahmen der induktiven Statistik formalisiert.Fahrmeir 2016: Kapitel 2.2.3 Standardabweichung, Varianz und Variationskoeffizient (→ Stichprobenvarianz (Schätzfunktion))
Die Idee von Formel (2) ist eine andere: Hier geht es nicht um eine Aussage über eine „Grundgesamtheit“ mit Hilfe einer Stichprobe, sondern darum, den Datensatz möglichst genau durch eine Normalverteilung zu beschreiben: D.h. die Parameter der Normalverteilung und werden so bestimmt, dass der quadratische Fehler der gegebenen Daten relativ zur Verteilungsfunktion der Normalverteilung minimal ist. Das ist der Fall für und . Formel (2) liefert in diesem Sinne bessere Ergebnisse als Formel (1), und sie sollte angewendet werden, wenn diese Eigenschaft erforderlich ist.FernUni Hagen 2020: Formel (2) ist aber kein erwartungstreuer Schätzer: D.h. wenn das Ergebnis über viele Stichproben gemittelt wird, dann strebt das Ergebnis nicht gegen den wahren Wert für die Varianz der Grundgesamtheit. Formel (2) liefert im Mittel zu kleine Ergebnisse und wird daher seltener angewendet. Es ist bemerkenswert, dass es umfangreiche mathematische und statistische HandbücherBronstein 2020Hartung 2005Duden 2020: Varianz gibt, die die Formel (2) nicht erwähnen.
Formel (2) wird in der mathematischen Statistik begründet, z. B. durch Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode, oder der Momentenmethode.
Formel (3) und (1) unterscheiden sich darin, dass bei Formel (3) die Berechnung des arithmetischen Mittels entfällt, weil der Mittelwert der Grundgesamtheit bekannt ist. Auch diese Formel ist erwartungstreu im Sinne der schließenden Statistik. Da für Formel (3) kein arithmetisches Mittel berechnet wird geht kein Freiheitsgrad bei der Berechnung verloren und es wird nur durch n geteilt.
Formel (3) kann man ebenfalls plausibilisieren, wenn man den Fall betrachtet: Bei 2 Datenwerten gibt es 2 Unterschiede im Vergleich zum vorbekannten Mittelwert . Daher wird in diesem Fall durch 2 geteilt.
Im Falle einer Vollerhebung aller Daten der Population sind die Formeln (2) und (3) gleichwertig, da in diesem Fall der Populationsmittelwert bereits aus den vorliegenden Daten bekannt ist: .
Wird nur von „der“ empirischen Varianz gesprochen, so muss daher darauf geachtet werden, welche Konvention beziehungsweise Definition im entsprechenden Kontext gilt. Weder die Benennungen noch die entsprechende Notation ist in der Literatur einheitlich:
Die Bezeichnung empirische Varianz wird von einigen Autoren nur für die unkorrigierte Varianz verwendet. Der Ausdruck Stichprobenvarianz wird in diesem Fall nur für die korrigierte Varianz verwendet. wird auch als erwartungstreue Stichprobenvarianz (und als verzerrte Stichprobenvarianz) bezeichnet, weil ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist. (PDF-Datei), www.alt.mathematik.uni-mainz.de, abgerufen am 31. Dezember 2018 wird manchmal auch als theoretische Varianz oder induktive Varianz bezeichnet.Cleff 2015: S. 255 Statt wird manchmal auch oder verwendet. wird manchmal als mittlere quadratische Abweichung vom empirischen Mittelwert bezeichnetToutenburg 2008: S. 75 Statt wird manchmal auch verwendet Empirische Varianz für Häufigkeitsdaten In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass die Stichprobenwerte nur konkrete Ausprägungen annehmen können. Das bedeutet: es bietet sich folgendes Vorgehen an:
Zuerst wird mit Hilfe einer größeren Stichprobe untersucht, wie häufig jede der Ausprägungen auftritt. Die Ergebnisse der Zählung sind die absolute Häufigkeiten der Ausprägungen, d. h. es die entsprechen der Anzahl des Auftretens von . Sie können in einer Häufigkeitstabelle zusammengefasst werden. Die Summe der ist gleich, wie die Anzahl der Stichprobenwerte . Daraus werden die relativen Häufigkeiten (Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der jeweiligen Ausprägungen) berechnet. Die Varianz ergibt sich schließlich aus den ermittelten Häufigkeitsdaten: den relativen Häufigkeiten der Ausprägungen und dem empirischen Mittelwert der Stichprobe. , mit .
Empirische Varianz für Daten aus einer Zeitreihe In diesem Fall sind Datenwerte als Zeitreihe gegeben. Beispielsweise wird sekündlich ein Wert gemessen. ist ein Zähler für die aufgelaufenen Werte seit dem Beginn der Rechnung.
Zu jedem Zeitpunkt der Zeitreihe soll die Varianz aus den letzten Werten von bestimmt werden.
Die Rechnung soll in Echtzeit unmittelbar nach dem Eintreffen von jedem neuen Wert erfolgen. In Echtzeitsystemen wird stark auf die erforderliche Rechenzeit in jedem Zeitschritt geachtet. Mit Formeln (1) bis (3) würde die erforderliche Rechenzeit mit der Zeit steigen, da ja auch die Summen immer mehr Werte umfassen. Das wird vermieden mit folgenden rekursiven Formeln, die auf den Schätz-Ergebnissen für und zum vergangenen Zeitpunkt aufbauen, und die in jedem Zeitschritt ausgeführt werden:Young 2011 - Chapter 2: Recursive Estimation, Seite 19
Diese Formeln benötigen Startwerte für den Zeitpunkt . Bei ungünstiger Wahl nähern sich die Schätzwerte langsam den wahren Werten an. Daher sind günstige Vorbelegungen:
: Vorbelegung mit oder dem ersten erhaltenen Messwert, oder einem vorab erwarteten Mittelwert : Vorbelegung mit oder einem vorab erwarteten Varianzwert
Eigenschaften der empirischen Varianz Verteilung der empirischen Varianz Die empirische Varianz folgt für unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen einer skalierten Chi-Quadrat-Verteilung:
Daher folgt:
sowie
Verhalten bei Transformationen Verschiebung der Daten um einen konstanten Wert c: Varianz ändert sich nicht
Also: Wenn , so gilt:
Begründung: Es ist und somit , woraus die Behauptung folgt.
Skalierung der Daten um einen Faktor , also : Varianz skaliert um den Faktor : .
Begründung: Dies folgt wie oben durch direktes Nachrechnen.
Genauigkeit der berechneten empirischen Varianz Wenn man viele Stichproben nimmt, dann führt jede neue Stichprobe zu einer anderen Schätzung für die Varianz der Grundgesamtheit. D. h., die berechnete empirische Varianz (Stichprobenvarianz) hat ebenfalls eine Streuung. Diese Streuung ist ein Maß für die Qualität (Genauigkeit) der Varianzbestimmung. Für den Fall, dass die Streuung in einem gegebenen Anwendungsfall zu hoch ist, könnte man die Anzahl der Werte in der Stichprobe vergrößern oder den Mittelwert aus vielen verschiedenen Stichproben verwenden.
Die Streuung der Stichprobenvarianz kann durch die Berechnung der Grenzwerte des Konfidenzintervalles mit Hilfe der Chi-Quadrat-Verteilung beurteilt werden. Praktisch genügt jedoch häufig eine Abschätzung der Standardabweichung der Stichprobenvarianz mit folgenden FormelnHU-Berlin 2018: Verteilung der Stichprobenvarianz, Kapitel 1.2, abgerufen am 1. Februar 2022. analog zu Formeln (1) und (3):
Standardabweichung der Stichprobenvarianz bei unbekanntem wahrem Mittelwert der Gesamtheit:
Standardabweichung der Stichprobenvarianz bei bekanntem wahrem Mittelwert der Gesamtheit:
Beispiel 1: Stichprobe mit Werten und der Varianz :
Dann lässt sich die Standardabweichung der Stichprobenvarianz abschätzen als
.
Die Standardabweichung von 0,47 ist im Vergleich zur Stichprobenvarianz erheblich. D. h., eine Stichprobe mit ist in den meisten Anwendungsfällen nicht geeignet, um eine ausreichend verlässliche Aussage über die Varianz der Grundgesamtheit zu machen.
Beispiel 2: Stichprobe wird vergrößert auf Werte:
Dann lässt sich die Streuung der Stichprobenvarianz wie oben ermitteln als
.