Sitzzuteilungsverfahren sind Rechenverfahren, um bei Verhältniswahlen eine vorgegebene Anzahl von Sitzen eines Parlaments den zu berücksichtigenden Parteien im Verhältnis ihrer Stimmenzahlen zuzuteilen. Es sind Rundungsverfahren, bei denen die Summe der Summanden erhalten bleiben muss (summenerhaltendes Runden).
Zuteilungsverfahren werden auch genutzt, um bei einer Aufgliederung eines großen Wahlgebiets in kleinere Wahldistrikte die verfügbaren Gesamtsitze auf die Distrikte im Verhältnis ihrer Bevölkerungsstärken aufzuteilen. Darüber hinaus können sie dazu dienen, bei gegebener Teilnehmergruppe die für sie erhobenen (positiven) Mess- oder Zählwerte in Prozente umzurechnen, indem 100 Prozentpunkte den Teilnehmern im Verhältnis ihrer Messwerte zugeordnet werden. Sollen Prozentzahlen auf eine Nachkommastelle genau sein, werden 1000 Promillpunkte verteilt. Dieselbe Aufgabe liegt vor, wenn bei einer Kaufrechnung oder -quittung die Mehrwertsteuer (ein Prozentsatz der Rechnungssumme) auf die Positionen zu verteilen ist.
Allgemein dienen Zuteilungsverfahren der proportionalen Repräsentation von Akteuren, von denen jedem ein Gewicht zukommt und auf die eine gewisse Anzahl (von Gesamtsitzen, von Prozentpunkten o. ä.) im Verhältnis ihrer Gewichte zu verteilen sind.
Proportionalität und Ganzzahligkeit Zuteilungsverfahren werden hier am Beispiel der Zuteilung von Parlamentssitzen an Parteien erläutert. Die Gesamtzahl der zu vergebenden Sitze wird abgekürzt mit (Hausgröße). Die bei der Sitzzuteilung zu berücksichtigenden Parteien werden in irgendeiner Weise von 1 bis durchnummeriert.Alle gängigen Zuteilungsverfahren sind anonym, d. h. sie liefern Sitzzahlen, die nicht von den Namen der Parteien oder ihrer Reihung abhängen. Die Stimmenzahlen der Parteien, mit denen sie aus der Wahl hervorgehen, seien bezeichnet mit (Voten). Aufgabe eines Sitzzuteilungsverfahrens ist es, ganzzahlige Sitzzahlen zu bestimmen, die proportional zu den Stimmenzahlen sind und zusammen die Hausgröße ausschöpfen. (Der Buchstabe deutet an, dass die Sitzzahlen die „Unbekannten“ sind, die es zu bestimmen gilt.)
Im theoretischen Fall, dass nur Proporz zu sichern wäre und nicht auch Ganzzahligkeit, sollte für jede Partei der Anteil an Sitzen gleich dem Anteil an Stimmen sein: , wobei die Zahl der Gesamtstimmen angibt. Mit dem Dreisatz aus der Schulmathematik ergäbe sich für die Sitzzahl der Partei die „Lösung“
Der hier auftretende Idealanspruch , mit Nenner , ist mangels garantierter Ganzzahligkeit nur ein theoretischer Kennwert und nicht mehr. Er deutet das Niveau des Sitzanspruchs von Partei an, taugt aber nicht als praktische Sitzzahl. Ganzzahligkeit ist im praktischen Sitzzuteilungsproblem unverzichtbar.
Ganzzahligkeit wird dadurch erzwungen, dass Quotienten der Form , mit beliebigem Divisor , in einem eigenständigen Verfahrensschritt auf eine Ganzzahl gerundet werden. Wird allgemein eine Rundungsregel durch eckige Klammern angedeutet, bekommt die Sitzzahl der Partei als praktische Problemlösung die Form
Die Sitzzahl einer Partei ist somit die Ganzzahl, die durch Rundung des Quotienten aus der Stimmenzahl dieser Partei und einem Divisor hervorgeht, wobei für alle Parteien derselbe Divisor benutzt wird. Divisor und Rundung müssen so zusammenwirken, dass die vorgegebene Hausgröße genau ausgeschöpft wird: .
Je nachdem, wie Divisor und Rundungsregel austariert werden, ergeben sich unterschiedliche Zuteilungsverfahren. In den Anwendungen dominieren zwei Klassen von Verfahren, Divisorverfahren und Quotenverfahren: Divisorverfahren benutzen eine feste Rundungsregel und passen den Divisor an, bis die Hausgröße ausgeschöpft ist; der Divisor heißt hier auch beweglicher Wahlschlüssel (engl. sliding divisor). Quotenverfahren geben den Divisor formelmäßig vor und richten die Rundungen so ein, dass die Hausgröße erreicht wird; hier wird der Divisor auch fester Wahlschlüssel, Wahlzahl oder Quote (engl. quota) genannt.
Es gibt auch andere Zuteilungsverfahren, die in keine dieser beiden Klassen fallen.
Bei Sitzzuteilungsverfahren ist Ganzzahligkeit unabdingbar, weil in einem Parlament alle Abgeordneten gleich sind und Bruchteilssitze keinen Sinn geben.Bei anderen Repräsentationsproblemen können nicht-ganzzahlige Gewichtungen durchaus sinnvoll werden, etwa bei der Zuteilung von Stimmgewichten an Aktionäre im Verhältnis zu ihren Kapitaleinlagen. Das Beharren auf Ganzzahligkeit entspricht dem Parlamentsleben. Aus Parteiensicht ist jeder Sitz wichtig, ein Sitz mehr oder weniger kann über Mehrheiten entscheiden. Keine Partei wird einer anderen einen Sitz überlassen, auf den sie sich selber Chancen ausrechnet, denn „Wahlrecht ist auch Machtrecht“.
Traditionelle Zuteilungsverfahren und ihre Namenspatrone Im deutschsprachigen Raum haben drei Sitzzuteilungsverfahren besondere Tradition.Vor dem Hintergrund der US-amerikanischen Geschichte sprechen Balinski/Young (1982), S. 99, von fünf traditionellen Divisorverfahren, nämlich zuzüglich zu den beiden hier genannten noch die mit Aufrundung (Adams), harmonischer Rundung (Dean) und geometrischer Rundung (Hill). Die Bezeichnungen variieren. Populär ist eine Namensgebung mit Verweis auf Autoritäten, die zur Entwicklung oder Verbreitung des Verfahrens beigetragen haben.Minibiographien der Namenspatrone finden sich in Pukelsheim (2017), Chap. 16. Alternativ gibt es Verfahrensnamen, die die Systematik andeuten, ob es sich um ein Divisor- oder Quotenverfahren handelt und welche Verfahrensschritte prägend sind: Sainte-Laguë-Verfahren, auch: Webster-Methode, Divisorverfahren mit Standardrundung D’Hondt-Verfahren, auch: Hagenbach-Bischoff-Verfahren, Jefferson-Methode, Divisorverfahren mit Abrundung Hare/Niemeyer-Verfahren, auch: Hamilton-Methode, Hare-Quotenverfahren mit Ausgleich nach größten Resten
In Deutschland galt das D’Hondt-Verfahren ab dem ersten Bundeswahlgesetz 1949 für die Sitzzuteilung bei Wahlen zum Deutschen Bundestag. Es wurde 1985 durch das Hare/Niemeyer-Verfahren ersetzt, das 2008 vom Sainte-Laguë-Verfahren abgelöst wurde.
Die Verfahren werden erläutert anhand der Wahl des Gemeinderats des Marktes Mallersdorf-Pfaffenberg im niederbayerischen Landkreis Straubing-Bogen am 15. März 2020. Je nach Verfahren erhält man unterschiedliche Zuteilungen. Zudem zog die Wahl einen Rundungsstreit nach sich, der aufzeigt, mit welchen Problemen die Praxis zu kämpfen hat.Grabmeier (2020).
Divisorverfahren Mit Standardrundung (Sainte-Laguë) Standardrundung bedeutet, dass der Quotient aus Stimmenzahl und Divisor ab- bzw. aufgerundet wird je nachdem, ob der Nachkommateil des Quotienten kleiner bzw. größer als ein Halb ist. Für Mallersdorf-Pfaffenberg lässt sich das Ergebnis mit dem Satz beschreiben: Auf je 3318,36 Stimmenbruchteile entfällt rund ein Sitz.
+ Divisorverfahren mit Standardrundung Partei Stimmen Quotient Sitze CSU 28.206 8,49998 8 FW 18.251 5,50001 6 SPD 10.000 3,0 3 ÖDP 9.229 2,8 3 GRÜNE 1.487 0,4 0 Summe (Divisor) 67.173 (3318,36) 20 Auf je 3318,36 Stimmenbruchteile entfällt rund ein Sitz, wobei „rund“ hier auf Standardrundung verweist.
Der problemlösende Divisor ist Resultat eines mehrschrittigen Rechenwegs. Der Weg beginnt mit einem Startdivisor. Sollte mit diesem die Hausgröße verfehlt werden, folgen Anpassungsschritte. Für das Divisorverfahren mit Standardrundung gibt es drei Rechenwege: Diskrepanzabbau, Höchstzahlenschema mit Teilern 0,5, 1,5, 2,5 usw. und Höchstzahlenschema mit Teilern 1, 3, 5 usw. Der Diskrepanzabbau-Algorithmus ist der schnellste.Pukelsheim (2015), S. 24.
Diskrepanzabbau beim Divisorverfahren mit Standardrundung. Dies ist der Rechenweg, der in § 6 des Bundeswahlgesetzes beschrieben ist:Die Terminologie des Gesetzes ist leicht verschlankt.
Das Beispiel Mallersdorf-Pfaffenberg lehrt, wie das Heruntersetzen des Startdivisors vollzogen wird. (Wird stattdessen das Divisorverfahren mit Abrundung verwendet, zeigt das Beispiel, wie das Heraufsetzen funktioniert.)
Der Startdivisor für das Divisorverfahren mit Standardrundung ist die Hare-Quote, d. h. der Durchschnitt von Stimmen pro Sitz. Für die Ratswahl in Mallersdorf-Pfaffenberg ist der Startdivisor . Folglich werden die mit den Parteistimmen einhergehenden Quotienten standardgerundet zu Sitzen. Zusammen werden 19 Ratssitze verteilt, ein Sitz zu wenig.
Die Diskrepanz von einem Fehlsitz wird in einem Schritt abgebaut. Dies leistet ein neuer Divisor, der um so viel kleiner als der Startdivisor ist, dass der fehlende Sitz hinzugefügt wird. Zunächst wird für jede Partei der Divisorwert markiert, ab dem sie einen weiteren Sitz erhält.
Wenn der neue Divisor unterhalb der Marke liegt, bekommt Partei 1 einen Sitz mehr. Denn bedeutet, dass der Quotient größer als 8,5 wird und zu 9 (oder mehr) Sitzen führt.
Unter der Marke bekommt Partei 2 einen Sitz mehr.
Unter der Marke bekommt Partei 3 einen Sitz mehr.
Unter der Marke bekommt Partei 4 einen Sitz mehr.
Unter der Marke bekommt Partei 5 ihren ersten Sitz.
Wird ausgehend vom Startdivisor der Divisor verkleinert, dann stößt er als erstes auf die höchste dieser Marken. Sie gehört zu Partei 2:
Mit einem neuen Divisor unterhalb dieser Marke erhält Partei 2 einen sechsten Sitz, den insgesamt zwanzigsten. Kleiner als darf der Divisor nicht werden, sonst bekäme Partei 1 einen neunten Sitz, der überzählig wäre. Jede Zahl im Bereich von 3318,353 bis 3318,363 kann als Divisor dienen, um die zwanzig Ratssitze zuzuteilen.
Obige Tabelle zitiert den Divisor 3318,36. Für die ersten beiden Parteien werden die Quotienten mit fünf Nachkommastellen angezeigt, um zu bestätigen, dass der erste Quotient, weil kleiner als 8,5, abzurunden und der zweite, weil größer als 5,5, aufzurunden ist. Für die anderen drei Parteien reicht eine Nachkommastelle aus, um über Ab- und Aufrundung zu entscheiden.
Zitierdivisor. Die zulässigen Divisoren bilden einen Bereich, unterhalb dem zu viele Sitze vergeben werden und oberhalb zu wenige. Jeder Wert innerhalb des Bereichs ist ein tauglicher Divisor. Ein spezieller Wert ist der Zitierdivisor.
Für den Zitierdivisor wird die Bereichsmitte bestimmt und auf so wenige Nachkommastellen und auf so viele nachlaufende Nullen wie möglich (kaufmännisch) gerundet. Im Beispiel hat der Divisorbereich von ≈ 3318,353 bis ≈ 3318,364 den Mittelpunkt . Rundung auf zwei Dezimalstellen liefert den Zitierdivisor 3318,36.
Höchstzahlenschema mit Teilern 0,5, 1,5, 2,5 usw. Für das Divisorverfahren mit Standardrundung ist der Höchstzahlen-Algorithmus weit verbreitet. Er beginnt mit einem so großen Startdivisor, dass zunächst kein Sitz verteilt wird (im Beispiel: größer als ). Die anfängliche Diskrepanz beträgt somit zwanzig Fehlsitze.
Der Abbau der Diskrepanz erfolgt in zwanzig Schritten. Erst wird der erste Sitz zugeteilt, dann der zweite, danach der dritte, schließlich der neunzehnte und als letztes der zwanzigste.
Die Anpassungsschritte ähneln dem Schritt vom neunzehnten zum zwanzigsten Sitz im Diskrepanzabbau-Algorithmus. Die auftretenden Marken sind alle von demselben Format: Parteistimmen geteilt durch 0,5, 1,5, 2,5 usw. Die Marken heißen nun Vergleichszahlen. Jede Partei erhält so viele Sitze, wie oft sie zu den zwanzig höchsten Vergleichszahlen, den Höchstzahlen, beiträgt.Schepers beschrieb das Divisorverfahren mit Standardrundung als Rangmaßzahlverfahren. Seine Rangmaßzahlen sind im Wesentlichen die Kehrwerte obiger Vergleichszahlen. Die Sitze gehen daher an die Parteien mit den niedrigsten Rangmaßzahlen. Die Auszählung der zwanzig höchsten Vergleichszahlen wird schematisch organisiert: