In der Algebra und Zahlentheorie ist eine proendliche Zahl (auch pro-endliche Zahl, proendliche Ganzzahl oder profinite (Ganz)zahl, englisch: profinite integer) durch die Reste (Restklassen) festgelegt, die sie in allen ganzzahligen Restklassenringen bildet. Damit ist sie ein Element aus der proendlichen Vervollständigung (gesprochen: Zett-Dach) der Gruppe der ganzen Zahlen Die (rationalen) Ganzzahlen lassen sich vermöge des kanonischen injektiven Homomorphismus
in die proendlichen Zahlen einbetten. Dabei wird die Zahl in allen Restklassenringen auf das dortige abgebildet. Dieses „erzeugt“ gewissermaßen
Die so eingebetteten ganzen Zahlen liegen dicht in den proendlichen ganzen Zahlen Sie sind in Folgen von Restklassen, und bei den Eigenschaften bspw. einer solchen 1 oder 2 kommt es (wie häufig in der Abstrakten Algebra) nur auf diejenigen an, die sie in ihren Verknüpfungen haben.
Die Galois-Gruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers über diesem Körper ist isomorph zu
Definition Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen ist (projektiver oder inverser Limes). Die Bildung eines projektiven Limes erfordert ein sog. projektives System bestehend aus einer gerichteten Indexmenge, die eine Folge von Objekten indiziert, und Übergangsmorphismen zwischen diesen Objekten. Für nimmt man als gerichtete Indexmenge die natürlichen Zahlen die durch die Teilbarkeitsrelation partiell geordnet sind, und als Folge von Objekten die Folge der endlichen zyklischen Gruppen Zu jedem und jedem gibt es den Gruppenhomomorphismus (die „Restklassenabbildung“, die „natürliche Surjektion“)
der wegen wohldefiniert ist. Diese Homomorphismen nimmt man als Übergangsmorphismen zwischen den Objekten. Sie bilden einen Erzeuger von in einen von ab und sind für in einer Weise, nämlich also verträglich, wie es für das projektive System und die Bildung des projektiven Limes erforderlich ist.
Im projektiven Limes werden diejenigen Familien von Restklassen zusammengefasst, deren Komponenten miteinander verträglich sind, bei denen also für alle mit gilt:
was durch die Kongruenzen
erfüllt wird. In einer Formel geschrieben ergibt sich:
Eine Elementefamilie, die die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt, die also zum projektiven Limes gehört, wird manchmal auch als „Faser“ bezeichnet.
Die komponentenweise definierte Addition ist stetig. Dasselbe gilt in zusätzlich für die Multiplikation. Dadurch wird zu einer topologischen additiven Gruppe und zu einem topologischen Ring mit 1.
Die natürliche Topologie auf ist die Limestopologie, d. i. die von den diskreten Topologien auf den induzierte Produkttopologie. Diese Topologie ist mit den Ringoperationen verträglich und wird auch Krulltopologie genannt. Gleichzeitig ist die abgeschlossene Hülle von im Produkt was die Dichtheit von in impliziert.
Alternative Konstruktion Der Ring der ganzen Zahlen kann auch in „klassischer“ Manier über eine uniforme Struktur vervollständigt werden. Sei dazu für
eine Nachbarschaft (der Ordnung Die Menge ist ein (abzählbares) FundamentalsystemIm Abschnitt Pseudometrik#Definition einer Spanne durch eine uniforme Struktur wird ausgehend von einer uniformen Struktur, hier unter Zuhilfenahme der Abzählbarkeit des Fundamentalsystems eine Pseudometrik konstruiert, die ihrerseits wieder induziert. Es gibt jedoch sogar eine Metrik, die die uniforme Struktur induziert: Sei dazu für , sonst. der „!-Wert“ eines . [ misst die Nähe zur Null (den Grad der Teilbarkeit) von durch Teiler der Form (gesprochen: enn Fakultät) – in Analogie zum in den Ringen der den maximalen Exponenten bei der Teilbarkeit durch angibt, oder auch zu (s. Lenstra Profinite number theory. S. 21) in den archimedischen Systemen.] Dann gilt für mit
mit passenden und woraus Der symmetrische Fall führt zu Beide Fälle zusammen ergeben
Die damit gebildete Abstandsfunktion
erfüllt die Forderungen für eine Metrik und ist eine Ultrametrik: (1) Positive Definitheit: und (2) Symmetrie: (3) Verschärfte Dreiecksungleichung: Diese Metrik ist wie die uniforme Struktur im Text durch den Grad der Teilbarkeit definiert, so dass sie als uniforme Strukturen übereinstimmen.
NB: Die Folge ist kofinal in . Und jede monotone kofinale Folge definiert eine Metrik mit derselben uniformen Struktur. und der zugehörige Filter
eine uniforme Struktur für . Die Forderungen an sind leicht verifiziert: (1) Jede Nachbarschaft und jedes enthält die Diagonale (2) Ist und , dann ist (3) Ist , dann ist auch (4) Zu jedem gibt es ein mit (5) Ist , dann ist auch Die Menge der Cauchy-Netze in ist
welche mit der komponentenweisen Addition eine Gruppe ist. Die Vervollständigung der ganzen Zahlen bezüglich der uniformen Struktur der Teilbarkeit ist die Faktorgruppe der Cauchy-Netze modulo den Nullfolgen (genauer: den Folgen, die Nullnetze bzw. Cauchy-Netze mit Limes sind).Diese Nullnetze sind genau die monotonen in kofinalen Netze, denn
erweist sich als isomorph zu
Beweis Sei eine Familie von verträglichen Restklassen, also , und sei , dann ist für alle mit , die Folge der Repräsentanten also ein Cauchy-Netz.
Ist umgekehrt eine Folge von ganzen Zahlen, die ein Cauchy-Netz ist im Sinne der oben definierten uniformen Struktur, dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle mit gilt . Nimmt man jetzt , dann ist
für alle mit . Die Teilfolge hat denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge, repräsentiert also dasselbe Element . Ist nun , dann ist für alle mit auch und , also . Damit erfüllt die Folge von Restklassen die Verträglichkeitsbedingungen und ist eine Familie . Ergebnis Man kann von Folgen von Restklassen zu den Folgen ihrer Repräsentanten übergehen – wie man auch umgekehrt aus einem Cauchy-Netz von Ganzzahlen durch Beigabe von Moduln eine Folge von Restklassen machen kann, die dieselbe proendliche Zahl ausmacht.
Eigenschaften Die Menge der proendlichen Zahlen ist überabzählbar.
ist eine proendliche Gruppe.
367px|mini|Kommutatives Diagramm zum Ring der proendlichen Zahlen Ẑ Der projektive Limes zusammen mit den Homomorphismen
den kanonischen Projektionen (des projektiven Limes), hat die folgende universelle Eigenschaft: Für jede Gruppe und Homomorphismen für die für alle gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus so dass gilt.
99px|mini|Universelle Eigenschaft des Einbettungs-isomorphismus Der natürliche Homomorphismus hat die folgende universelle Eigenschaft: Für jeden Homomorphismus in eine proendliche Gruppe gibt es einen (bezüglich der Krulltopologie) stetigen Homomorphismus mit
Aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung in folgt die
(mit als der Menge der natürlichen Primzahlen) von zum direkten Produkt der Zahlringe die ihrerseits projektive Limites
sind.s. Artikel Limes (Kategorientheorie) Bei der Umkehrfunktion des Isomorphismus lässt sich zu einem beliebigen Vektor mit Komponenten das Urbild (eindeutig) mithilfe des chinesischen Restsatzes bestimmen, der in einem erweiterten iterativen Verfahren, ähnlich dem im Beweis der Dichtheit im Artikel Limes (Kategorientheorie) gebrachten, angewendet
Wie im projektiven Limes geschehen Addition und Multiplikation im direkten Produkt komponentenweise. Das bedeutet, dass es Nullteiler gibt in und keinen Quotientenkörper haben kann.
Für jede Primzahl bezeichne
die kanonische Projektion (des direkten Produktes). Angewendet auf die Injektion Komponente erfüllt sie Die Komposition dagegen entspricht der Multiplikation mit Komponente
Eine in konvergente Zahlenfolge konvergiert auch in jedem proendlichen Unterring und umgekehrt. Die Konvergenz für ein einzelnes genügt allerdings nicht. Beispiel: Die Folge die in gegen konvergiert, divergiert sowohl in für Primzahlen ungleich wie auch in Denn ist die Ordnung von in der multiplikativen Gruppe des endlichen Körpers, dann gilt für alle und
Topologie Die Produkttopologie auf ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen stetig sind.
Diese Topologie fällt mit der oben erwähnten Limestopologie zusammen und wird Krulltopologie genannt. Da der die Isomorphie etablierende Isomorphismus gleichzeitig in beiden Richtungen stetig unter den beiderseitigen Topologien ist, ist er zusätzlich ein Homöomorphismus.
Darstellung Die Entwicklung einer proendlichen Zahl beinhaltet (wie die einer reellen) im Normalfall unendlich viele Symbole. Die solche Symbolfolgen bearbeitenden Algorithmen können davon nur endliche Anfangsstücke abarbeiten. Bei einem Abbruch ist eine Angabe über die Größenordnung des Fehlers wünschenswert, ähnlich den Zahlen, bei denen die letzte ausgeworfene Ziffer genau ist.
Darstellung als direktes Produkt Die Darstellung einer proendlichen Zahl als direktes Produkt
ist ein in zwei Dimensionen unendlicher „Vektor“. Bei dieser Darstellung sind viele algebraisch-zahlentheoretische Eigenschaften von anhand der Eigenschaften in den gut erkennbar.Lenstra Profinite number theory. S. 17
Darstellung als unendliche Reihe Im projektiven Limes kann man die Halbordnung der Teilbarkeitsrelation durch eine lineare Ordnung ersetzen. Sei dazu mit der „Stellenwert“ (das Gewicht) an der Stelle und mit die „Basis“. Dann
wobei jedes Element eine unendliche Familie
von Restklassen ist. Jeder solche Repräsentant lässt sich als Teilsumme
einer Reihe mit „Ziffern“ in einer Stellenwertnotation mit mehreren Basen
Die Indizierung ist so gewählt, dass die Ziffer Repräsentant einer ist – mit einem um 1 höheren Index – und das Folgenglied Repräsentant einer Restklasse dem „Modul“ (an der Stelle
Algorithmus In der Induktionsannahme seien für die Ziffern der Darstellung schon derart bestimmt, dass
Im Induktionsschritt komme die Forderung
hinzu, die für alle Teiler die Verträglichkeitsbedingung
mit einer der kanonischen Projektionen des projektiven Limes erfüllt. Es sollen aber die bereits etablierten Kongruenzen erhalten bleiben, d. h.
gelten. Der erweiterte euklidische Algorithmus
liefert zu den beiden Moduln und neben dem größten gemeinsamen Teiler zwei Zahlen mit
Wegen gilt ähnlich wie in
was zusammengenommen
ergibt. Also lässt sich und
bilden, so dass mit
sowohl
als auch
gilt, wie es sein soll. ■ Die gezeigte Wahl von führt zum System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zum System A051451, während eine Wahl mit dem Modul und beliebigem zum fakultätsbasierten System führt. Der Algorithmus vereinigt in jedem Induktionsschritt in Anwendung des chinesischen Restsatzes (unter Zuhilfenahme des erweiterten euklidischen Algorithmus) zwei (simultane) Kongruenzen zu einer neuen, die zu den beiden Ausgangskongruenzen äquivalent ist. (Im Fall nicht-teilerfremder Moduln wird die Lösbarkeit durch die Verträglichkeitsbedingungen des projektiven Systems stets garantiert.) Das Verfahren wirft unabhängig von der Wahl des Basissystems pro Schritt ein Folgenglied einer unendlichen Reihe aus.
Werden umgekehrt Ziffern mit frei gewählt, dann stellt die mit ihnen und dem gegebenen Basissystem gebildete unendliche Reihe eine (eindeutige) proendliche Zahl dar.
Kofinale Folge Diese Reihe ist nur dann bei jedem beliebigen eine Stellenwertentwicklung, wenn das gegebene Basissystem jede Primzahl unendlich oft enthält, d. h. wenn die Folge der Moduln kofinal in und monoton (wachsend) ist.Der hier vorkommende Ordnungstyp ist nicht sondern der in zwei Dimensionen (der Folge der Primzahlen und der Folge der Exponenten) unendliche Ordnungstyp
d. s. die Vektoren mit für fast alle Die Ordnungsrelation in geht komponentenweise
Als abzählbarer Ordnungstyp enthält er kofinale Teilfolgen. Dies ist beim System der Fakultäten, dem A003418- und dem A051451-basierten System der Fall. Die Monotonie vermeidet Basen und ist wachsend, da das interessante, das offene Ende von bei den großen Zahlen ist.
Fakultätsbasiert