Eine mathematische Konstante ist eine wohldefinierte, reelle, nicht-ganzzahlige Zahl, die in der Mathematik von besonderem Interesse ist. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem physikalischen Maß definiert und sind demnach einheitenlos. Viele spezielle Zahlen haben eine besondere Bedeutung in der Mathematik und treten in vielen unterschiedlichen Kontexten auf. Beispielsweise gibt es auf den reellen oder komplexen Zahlen genau eine differenzierbare Funktion mit und . Daraus abgeleitet wird die mathematische Konstante definiert. Auf den komplexen Zahlen ist eine periodische Funktion, und ihre Periodenlänge ist eine weitere mathematische Konstante: . Mathematische Konstanten lassen sich in vielen Fällen numerisch beliebig genau berechnen. Jedoch gibt es auch einige mathematische Konstanten, für die nur sehr grobe Näherungen bekannt sind, wie zum Beispiel die Brunsche Konstante
Mathematische Konstanten werden in unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik untersucht. Von den meisten mathematischen Konstanten ist trotz großer Anstrengungen ungeklärt, ob sie rational, irrational-algebraisch oder transzendent sind. Eine besonders einfache Klasse bilden die polylogarithmischen Konstanten, zu denen die Logarithmen und die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven ganzzahligen Argumentstellen gehören. Für einen Teil dieser Klasse sind BBP-Reihen bekannt.
Einige wichtige mathematische Konstanten
Symbol Dezimaldarstellung (OEIS-Link) Name und Formel Zahlentyp Erstmals beschrieben Zahl bekannter Dezimalstellen Beschreibung = 3,14159 26535 89793 23846 … (A000796) Kreiszahl, Pi, Archimedes-Konstante, ludolphsche Zahl transzendentFerdinand von Lindemann: Ueber die Zahl π. (April und Juni 1882). In: Mathematische Annalen, 20, 1882, S. 213–225, berechenbar 2000 v. Chr. 50·1012 Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises. = 1,41421 35623 73095 04880 … (A002193) Quadratwurzel von 2, Konstante von Pythagoras irrational algebraisch 800 v. Chr. 1013 Square Root of 2. Bei: numberworld.org. 9. Januar 2017, abgerufen am 24. April 2018. Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates; positive Lösung von = 1,73205 08075 68877 29352 … (A002194) Quadratwurzel von 3, Konstante von Theodorus irrational algebraisch 800 v. Chr. 2·1012 Alexander J. Yee: Records Set by y-cruncher. numberworld.org, 9. August 2019 (englisch) Verhältnis der räumlichen Diagonalen zur Kantenlänge eines Würfels; positive Lösung von = 1,61803 39887 49894 84820 … (A001622) Goldener Schnitt: irrational algebraisch 250 v. Chr. 10·1012 Größenverhältnis, das vielfach näherungsweise in der belebten und unbelebten Natur auftritt – in einem mathematisch präzisierbaren Sinne besonders irrational; positive Lösung von = 2,71828 18284 59045 23536 … (A001113) Eulersche Zahl: transzendentCharles Hermite: Sur la fonction exponentielle. In: Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences, 77, 1873, S. 18–24 74–79 226–233 285–293 (französisch) berechenbar 1618 1683Jakob I Bernoulli, 1683, laut John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: The number e. September 2001 (englisch) 12·1012 Basis des natürlichen Logarithmus = 0,57721 56649 01532 86060 … (A001620) Euler-Mascheroni-Konstante: berechenbar 1734Leonhard Euler: De progressionibus harmonicis observationes. (11. März 1734) In: Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae, 7, 1740, S. 150–161 (lateinisch; „C=0,577218“ auf S. 157) 6·1011 Fläche zwischen der Hyperbel und der Treppe für = 1,20205 69031 59594 28539 … (A002117) Apéry-Konstante: irrationalRoger Apéry: Irrationalité de ζ(2) et ζ(3). In: Astérisque, 61, 1979, S. 11–13 (französisch) berechenbar 1735Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. (13. Oktober 1735). In: Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21) 12·1011 Wert der riemannschen Zetafunktion an der Stelle 3; Kehrwert der asymptotischen Wahrscheinlichkeit, dass 3 zufällig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind = 1,60669 51524 15291 76378 … (A065442) Erdős-Borwein-Konstante: irrationalPaul Erdős: On arithmetical properties of Lambert series (8. Juli 1948). In: The Journal of the Indian Mathematical Society, 12, 1948, S. 63–66 (englisch) 1749Leonhard Euler: Consideratio quarumdam serierum, quae singularibus proprietatibus sunt praeditae. (19. Juni 1749 / 26. Januar 1750) In: Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 3, 1753, S. 86–108 (lateinisch; „s=1,606695152415291“ auf S. 108) 2000 (OEIS) Summe der Kehrwerte aller Mersenne-Zahlen = 1,45136 92348 83381 05028 … (A070769) Ramanujan-Soldner-Konstante 1792Lorenzo Mascheroni: Adnotationes ad calculum integralem Euleri / In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur / Pars altera. Petrus Galeatius, Ticini 1792 (lateinisch; „z=1,45137“ auf S. 17) 1809Johann Georg Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante. Lindauer, München 1809, S. 42 (französisch) 75.500Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Constants and Records of Computation. 12. August 2010 (englisch) Nullstelle des Integrallogarithmus = 2,62205 75542 92119 81046 … (A062539) Lemniskatische Konstante: transzendentTheodor Schneider: Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale. (11. März 1936). In: Mathematische Annalen, 113, 1937, S. 1–13 berechenbar 1798Carl Friedrich Gauß, 1798 6·1011 Analogon zu π für die Lemniskate = 1,08366. Legendre-Konstante rational 1808Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres. Duprat, Paris 1798,S. 19, . 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394 (französisch) (5) aus Legendres Abschätzung x / (ln x − 1,08366) der Anzahl der Primzahlen ≤ x; asymptotisch ist 1 korrekt = 0,66274 34193 49181 58097 … (A033259) Grenzwert von Laplace 1827Pierre-Simon Laplace: Traité de mécanique céleste (Band 5, Anhang). Bachelier, Paris 1827, S. 479 (französisch)