In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der abstrakten Algebra, stellt der Zykel-Graph die verschiedenen Zykel einer Gruppe dar. Er ist besonders zur Visualisierung der Struktur kleiner, endlicher Gruppen nützlich, spielt aber in der Gruppentheorie keine wichtige Rolle.
Zykel Ein Zykel einer Gruppe ist die Menge der Potenzen eines gegebenen Gruppenelements , wobei die n-te Potenz eines Elements als das n-fache Produkt von mit sich selbst definiert ist. In einer endlichen Gruppe muss eine positive Potenz von das neutrale Element ergeben, die kleinste Potenz, für die das eintritt, ist die Anzahl der verschiedenen Elemente des Zykels und heißt dessen Ordnung. In einem Zykel-Graphen werden die Zykel als Polygone dargestellt, die Knoten des Graphen stehen für die Gruppenelemente und Kanten deuten an, dass die durch sie verbundenen Knoten des Polygons zum selben Zykel gehören.
Zykel können sich überlappen oder mit Ausnahme des neutralen Elementes kein Element gemeinsam haben. Der Zykel-Graph zeigt jeden interessierenden Zykel als Polygon.
Wenn einen Zykel der Ordnung 6 erzeugt (oder kurz: die Ordnung 6 hat), dann ist . Die Menge der Potenzen von ist der Zykel , stellt aber keine neue Information dar, da er im von erzeugten Zykel enthalten ist. erzeugt denselben Zykel wie .
Daher müssen nur sogenannte primitive Zykel betrachtet werden, das heißt solche, die nicht Teilmenge eines anderen sind. Jeder dieser Zykel wird von einem oder mehreren primitiven Elementen erzeugt. Der Zykel-Graph entsteht nun dadurch, dass man die Gruppenelemente als Knoten nimmt, zu jedem primitiven Zykel von eine Kante zu einem primitiven Element zieht und dann mit , mit , … verbindet, bis man wieder beim neutralen Element angekommen ist.
Falls , das heißt die Ordnung 2 hat, also eine Involution ist, so ist dieses Element über zwei Kanten mit verbunden. Wenn dies nicht besonders herausgestellt werden soll, so wird typischerweise nur eine Kante gezeichnet.
Beispiele mini|220px|right|Zykel-Graph der Diedergruppe
Als Beispiel für einen Zykel-Graphen betrachten wir die Diedergruppe . Die Verknüpfungstafel findet sich auf der linken Seite, rechts ist der Zykel-Graph mit dem neutralen Element abgebildet:
o e b a a2 a3 ab a2b a3b e e b a a2 a3 ab a2b a3b b b e a3b a2b ab a3 a2 a a a ab a2 a3 e a2b a3b b a2 a2 a2b a3 e a a3b b ab a3 a3 a3b e a a2 b ab a2b ab ab a b a3b a2b e a3 a2 a2b a2b a2 ab b a3b a e a3 a3b a3b a3 a2b ab b a2 a e
Betrachte den Zykel . Der Verknüpfungstafel können die aufeinanderfolgenden Potenzen von entnommen werden. Die umgekehrte Reihenfolge ist auch möglich, das heißt, es gilt und schließlich . Das gilt für alle Zykel jeder Gruppe, ein Zykel kann in jeder Richtung durchlaufen werden.
280px|mini|Zykel-Graph der Quaternionengruppe
Zykel mit einer nicht primen Anzahl von Elementen haben immer Unter-Zykel, die im Zykel-Graph nicht gezeigt werden. Man könnte versucht sein, im Zykel-Graph der Gruppe D4 eine Kante zwischen und zu ziehen, aber das geschieht nicht, da der von erzeugte Zykel der Ordnung 2 Teil des größeren von erzeugten Zykels der Ordnung 4 ist.
Wie bereits oben festgestellt werden zweielementige Zykel in der Regel nur durch eine Kante dargestellt.
Wenn zwei Zykel eine von verschiedene Ecke gemeinsam haben, kann es zu Mehrdeutigkeiten über den Zykelverlauf kommen. Betrachte dazu die Quaternionengruppe , deren Zykel-Graph nebenstehend zu sehen ist. Das Quadrat des Elements der mittleren Zeile ergibt −1, wobei 1 für das neutrale Element in steht. Hier kann man, wie in der Zeichnung geschehen, Zykel durch unterschiedliche Farben kennzeichnen.
Das Inverse eines Elements kann im Zykel-Graph dadurch gefunden werden, dass man im Zykel, dem dieses Element angehört, dasjenige Element ausfindig macht, das bei umgekehrt durchlaufenem Zykel genauso weit vom neutralen Element entfernt ist.
Geschichte Zykel-Graphen wurden in den frühen 1950ern vom Zahlentheoretiker Daniel Shanks als Mittel zum Studium von primen Restklassengruppen untersucht.Shanks 1978, Seite 246 Shanks hat diese Idee erstmals 1962 in der ersten Ausgabe seines Buches Solved and Unsolved Problems in Number Theory veröffentlicht.Shanks 1978, Seite xii In diesem Buch untersucht Shanks, welche Gruppen isomorphe Zykel-Graphen haben und welche Zykel-Graphen planar sind.Shanks 1978, Seiten 83–98, 206–208 In der 1978 erschienenen zweiten Auflage schreibt Shanks über seine Untersuchung von Idealklassengruppen und der Entwicklung der Babystep-Giantstep-Methode:
The cycle graphs have proved to be useful when working with finite Abelian groups; and I have used them frequently in finding my way around an intricate structure, in obtaining a wanted multiplicative relation, or in isolating some wanted subgroup. deutsch: Die Zykel-Graphen haben sich bei der Arbeit mit abelschen Gruppen als nützlich erwiesen; und ich habe sie häufig verwendet, mich in verwickelten Strukturen zurechtzufinden, gesuchte multiplikative Beziehungen zu erhalten oder einige gesuchte Untergruppen zu isolieren.
In Nathan Carters 2009 erschienenem, einführenden Lehrbuch Visual Group Theory haben Zykel-Gruppen als pädagogisches Hilfsmittel Verwendung gefunden.Nathan Carter (2009): Visual Group Theory, Mathematical Association of America, Classroom Resource Materials ISBN 978-0-88385-757-1
Grapheigenschaften bestimmter Gruppenfamilien Gewisse Typen von Gruppen haben typische Zykel-Graphen:
Die Zykel-Graphen der zyklischen Gruppen der Ordnung sind -seitige regelmäßige Polygone, jede Ecke steht für ein Gruppenelement.
40px 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px Z1 Z2 = D1 Z3 Z4 Z5 Z6=Z3×Z2 Z7 Z8 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px Z9Z10=Z5×Z2Z11Z12=Z4×Z3Z13Z14=Z7×Z2Z15=Z5×Z3Z16 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px Z17Z18=Z9×Z2Z19Z20=Z5×Z4Z21=Z7×Z3Z22=Z11×Z2Z23Z24=Z8×Z3 Direkte Produkte von : 60px60px60px60px Z2 Z22 = D2 Z23 = D2×D1 Z24 = D22
Ist eine Primzahl, so bestehen die Zykel-Graphen der Gruppen aus Zykel der Ordnung , die das neutrale Element gemeinsam haben:
60px 60px 60px 60px Z22 = D2 Z23 = D2×D1 Z24 = D22 Z32
Die Zykel-Graphen der Diedergruppen der Ordnung haben einen n-elementigen Zykel und n 2-elementige:
60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px 60px60px 55px D1 = Z2 D2 = Z22 D3 D4 D5 D6=D3×Z2 D7 D8 D9 D10=D5×Z2
Die dizyklischen Gruppen der Ordnung haben folgende Zykel-Graphen: 120px 120px 120px 120px 120pxDic2 = Q8Dic3 = Q12Dic4 = Q16Dic5 = Q20Dic6 = Q24
Zykel-Graphen anderer direkter Produkte: 120px 120px 120px 120px 120pxZ4×Z2Z4×Z22Z6×Z2Z8×Z2Z42
Jede Gruppe der Ordnung ist isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe , ihr Zykel-Graph kann daher im Zykel-Graph der gefunden werden, siehe folgende Beispiele für die .
200pxA4×Z2150pxS3 = D3150pxS4150pxEine der drei D4 in S4identisch zu 25px
Siehe auch Liste kleiner Gruppen Cayley-Graph
Literatur S. Skiena: Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica 1990, §4.2.3 Cycles, Stars, and Wheels, Seiten 144–147 Daniel Shanks: Solved and Unsolved Problems in Number Theory, Chelsea Publishing Company (1978), ISBN 0-8284-0297-3 S. Pemmaraju, S. Skiena: Computational Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory in Mathematics Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003, §6.2.4 Cycles, Stars, and Wheels Seiten 248–249
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Graphentheorie Kategorie:Theorie endlicher Gruppen