In der Zahlentheorie ist eine Knödel-Zahl zu einer gegebenen ganzen Zahl eine zusammengesetzte Zahl mit der Eigenschaft, dass alle zu teilerfremden die Kongruenz erfüllen. Diese Eigenschaft ist nach Walter Knödel benannt. Die Menge aller Knödel-Zahlen von wird mit bezeichnet.
Die Spezialfälle sind die Carmichael-Zahlen.
Jede zusammengesetzte Zahl ist eine Knödel-Zahl zu . Mit ist die Eulersche Phi-Funktion gemeint.
Beispiele Beispiel 1:
Sei und
Dann sind die Zahlen und zu teilerfremd. Es gilt:
Somit erfüllen alle zu teilerfremden Zahlen die Kongruenz .
Also ist eine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt .
Beispiel 2:
Sei und
Dann sind die Zahlen und zu teilerfremd. Es gilt:
Somit erfüllen nicht alle zu teilerfremden Zahlen die Kongruenz .
Eigentlich hätte man die Berechnung schon bei abbrechnen können. Also ist keine Knödel-Zahl zur Zahl 4 und man schreibt .
Beispiel 3:
Es folgt noch eine Liste der ersten Elemente der Mengen bis : n Kn1 {561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, … } 2 {4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, … } 3 {9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, … } 4 {6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, … }5 {25, 65, 85, 145, 165, 185, 205, 265, … }6 {8, 10, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 66, … }7 {15, 49, 91, 133, 217, 259, 301, 427, … }8 {12, 14, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, … }9 {21, 27, 45, 63, 99, 105, 117, 153, … }10 {12, 24, 28, 30, 50, 70, 110, 130, … }
Literatur
Kategorie:Ganzzahlmenge