Eberlein-kompakte Räume, benannt nach William Frederick Eberlein, werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um diejenigen kompakten Räume, die als schwach kompakte Teilmengen eines Banachraums auftreten.
Definition Ein kompakter Hausdorffraum heißt Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie ist.Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 5, §2: Definition auf Seite 146
Ein kompakter Hausdorffraum heißt gleichmäßig Eberlein-kompakt, wenn er homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Hilbertraums in der relativen schwachen Topologie ist.K. Kunen, J. Vaughan: Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier-Verlag 2014, Kapitel 13, §6, Definition 6.2
Da Hilberträume spezielle Banachräume sind, ist die gleichmäßige Eberlein-Kompaktheit eine stärkere Eigenschaft als die Eberlein-Kompaktheit.
Beispiele Die Einheitskugel eines reflexiven Banachraums ist Eberlein-kompakt, denn die schwache Kompaktheit der Einheitskugel ist eine der äquivalenten Charakterisierungen der Reflexivität. Norm-kompakte Teilmengen eines Banachraums sind Eberlein-kompakt, denn solche Mengen sind auch schwach kompakt. Der Hilbertwürfel ist gleichmäßig Eberlein-kompakt, denn er ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge des Hilbertraums .
ist ein Homöomorphismus. Jeder kompakte metrische Raum ist gleichmäßig Eberlein-kompakt, denn solche Räume sind zu abgeschlossenen Unterräumen des Hilbertwürfels homöomorph. Die Einheitskugel des Dualraums des Folgenraums mit der schwach-*-Topologie ist nach dem Satz von Banach-Alaoglu ein kompakter Hausdorffraum. Dieser Raum ist nicht Eberlein-kompakt.
Eigenschaften Für Eberlein-kompakte Räume gelten die Folgerungen aus dem Satz von Eberlein–Šmulian, insbesondere sind solche Räume folgenkompakt und eine Teilmenge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit jeder konvergenten Folge auch deren Grenzwert enthält. Für einen kompakten Hausdorffraum sei der Funktionenraum der stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 5, §2, Theorem 4 ist Eberlein-kompakt. ist ein WCG-Raum. Die Einheitskugel des Dualraums mit der schwach-*-Topologie ist Eberlein-kompakt.
Äquivalente Charakterisierungen Topologische Charakterisierung Die Definition des Eberlein-kompakten Raums verwendet einen Banachraum. Die folgende topologische Charakterisierung, die keinen Bezug auf Banachräume nimmt, geht auf Haskell Rosenthal zurück:H. P. Rosenthal: The hereditary problem for weakly compactly generated Banach spaces, Composito Math. (1974), Band 28, Seiten 83–111Joseph Diestel: Geometry of Banach Spaces – Selected Topics, Springer-Verlag 1975, ISBN 3-540-07402-3, Kapitel 5, §3: Rosenthal's topological characterization of Eberlein compacts
Ein kompakter Hausdorffraum ist genau dann Eberlein-kompakt, wenn es eine Folge gibt, so dass gilt Jedes ist eine Familie offener Fσ-Mengen Für jedes gibt es zu jedem höchstens endlich viele mit , kurz: jedes ist punktendlich. Für alle mit gibt es ein und ein , so dass , wobei die charakteristische Funktion der Menge bezeichnet.
Ersetzt man die dritte Bedingung durch Für alle mit gibt es ein und ein mit und so erhält man eine Charakterisierung der metrisierbaren Eberlein-kompakten Räume.
Spezielle Banachräume Man erhält dieselbe Klasse kompakter Räume, wenn man in der Definition der Eberlein-Kompaktheit die verwendeten Banachräume einschränkt. Folgende Aussagen über einen topologischen Raum sind äquivalent:Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler: Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer Science & Business Media 2011, Kapitel 14.1 Eberlein Compact Spaces ist Eberlein-kompakt. ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines reflexiven Banachraums in der relativen schwachen Topologie. ist homöomorph zu einer schwach kompakten Teilmenge eines Banachraums in der relativen schwachen Topologie, wobei der Banachraum
mit der Supremumsnorm ist.
Manche Autoren verwenden die zuletzt genannte Charakterisierung als Definition.Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler: Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer Science & Business Media 2011, Definition 3.18
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Topologischer Raum Kategorie:Kompaktheit