Mathematik

mini|Reutersvärd-Dreieck, das im Kern eine Segmentierung des Penrose-Dreiecks ist, als Veranschaulichung für unmögliche Figuren, die eine Schnittstelle zwischen Kunst und Mathematik darstellen

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch: [], []; österreichisches Hochdeutsch: []; von „Kunst des Lernens“) ist eine Formalwissenschaft, die aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die selbstgeschaffene abstrakte Strukturen entsprechend der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.

Geschichte

mini|Der ägyptische Papyrus Rhind

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften. Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China, später in der Antike in Griechenland und im Hellenismus. Von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein, René Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Betrachtung von Änderungsraten (Fluxionen) sowie die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter werdender algebraischer Gleichungen. Zu dessen Behandlung entwickelten Niels Henrik Abel und Évariste Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die neuere Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden.

Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 führte zur Lösung eines alten Problems, für das es schon andere, allerdings umstrittene Lösungsvorschläge gab. Der Briefwechsel wird als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Die neuen Ideen und Verfahren eroberten viele Bereiche. Aber über Jahrhunderte hinweg kam es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen. Versuche, den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ explizit zu definieren, gelangen nur für Spezialfälle. Erst das Erscheinen von Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Jahr 1933 schloss die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab, siehe dazu auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

mini|Hauptgebäude des Weierstraß-Institutes in Berlin, das Sitz des Sekretariates des Weltverbandes Internationale Mathematische Union ist

Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß ihre heutige strenge Form. Die von Georg Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand.

Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik; gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte Emmy Noether die Grundlagen der modernen Algebra, Felix Hausdorff die allgemeine Topologie als die Untersuchung topologischer Räume und Stefan Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane.

Inhalte und Methodik

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen: das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik – Altertum), die Untersuchung von Figuren (Geometrie – Altertum, Euklid), das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Altertum, Mittelalter und Renaissance, Tartaglia), die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik – Aristoteles) (teilweise nur zur Philosophie, oft aber auch zur Mathematik gezählt), Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Euler, Gauß, Riemann), das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert), das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitstheorie – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert), die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, des Verhaltens im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts), die Optimierung geometrischer Formen und Funktionen (Mathematische Optimierung – Johann Bernoulli, Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange, Ende des 17. und 18. Jahrhunderts) die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert), die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert), die Geometrie gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert), das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert), die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und mathematische Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts), die stetige Verformung geometrischer Körper (Topologie – Cantor, Poincaré, Fréchet, Hausdorff, Kuratowski, Anfang des 20. Jahrhunderts), die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Universelle Algebra, Kategorientheorie), die Erhebung und Auswertung von Daten (Mathematische Statistik), diskrete endliche oder abzählbar unendliche Strukturen (Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Graphentheorie – Euler, Cayley, Kőnig, Tutte, Carl Adam Petri) mit engen Beziehungen zur Informatik.

Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht.

Unterschieden werden ferner die reine Mathematik, auch als theoretische Mathematik bezeichnet, die sich nicht mit außermathematischen Anwendungen befasst, und die angewandte Mathematik, wie zum Beispiel die Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge der vorstehenden Gebiete sind fließend.

Fortschreiten durch Problemlösen mini|Isaac Newton: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica

Kennzeichnend für die Mathematik ist auch die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von „eigentlich zu schweren“ Problemen voranschreitet.

Sobald ein Grundschüler das Addieren natürlicher Zahlen gelernt hat, ist er in der Lage, folgende Frage zu verstehen und durch Probieren zu beantworten: „Welche Zahl muss man zu 3 addieren, um 5 zu erhalten?“ Die systematische Lösung solcher Aufgaben aber erfordert die Einführung eines neuen Konzepts: der Subtraktion. Die Frage lässt sich dann umformulieren zu: „Was ist 5 minus 3?“ Sobald aber die Subtraktion definiert ist, kann man auch die Frage stellen: „Was ist 3 minus 5?“, die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt.

Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: Auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: So konnten mit der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.

Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: So ist etwa aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache mini|rechts|Sir Henry Billingsleys erste englische Ausgabe der Elemente von Euklid (1570)

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der Antike, wird die Mathematik in Form von Theorien präsentiert, die mit Aussagen beginnen, die als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten Schlussregeln. Die Aussagen, mit denen die Theorie beginnt, nennt man Axiome, die aus ihnen hergeleiteten nennt man Sätze. Die Herleitung selbst ist ein Beweis des Satzes. In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle, durch sie werden mathematische Begriffe durch Rückführung auf grundlegendere eingeführt und präzisiert. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als axiomatische Theorien.

Üblicherweise verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, dass also nicht gleichzeitig ein Satz und seine Negation wahr sind. Diese Widerspruchsfreiheit selbst lässt sich aber im Allgemeinen nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen (dies ist abhängig von den verwendeten Axiomen). Das hat zur Folge, dass etwa die Widerspruchsfreiheit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die fundamental für die moderne Mathematik ist, nicht ohne Zuhilfenahme weiterer Annahmen beweisbar ist.

Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen Wissenschaften die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.

Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen.

Kurt Gödel zeigte um 1930 den nach ihm benannten Unvollständigkeitssatz, der besagt, dass es in jedem Axiomensystem klassischer Logik, das erlaubt, gewisse Aussagen über natürliche Zahlen zu beweisen, entweder Aussagen gibt, die ebenso wenig wie ihre Negation beweisbar sind, oder aber das System selbst widersprüchlich ist.