Als ein lineares zeitinvariantes System, auch als LZI-System und LTI-System () wird ein dynamisches Übertragungssystem bezeichnet, wenn sein Ein-/Ausgangsverhalten linear ist und wenn sich die Charakteristik des Systemverhaltens nicht mit der Zeit ändert (Zeitinvarianz).
Die Theorie dieser Systeme hat eine enorme Anzahl von Anwendungen in der realen Welt: Das System kann beispielsweise ein technisches System (aus der Mechanik, Elektrik, Thermodynamik, Nachrichtentechnik, Regelungstechnik und viele mehr), ein biologischer Vorgang oder ein Bestandteil der Volkswirtschaft sein.
Das LZI-System ist ein abstraktes mathematisches Modell von realen Systemen, das interessierende Aspekte der realen Welt für einen bestimmten Zweck ausreichend genau beschreibt. Systeme, die nicht die erforderlichen Eigenschaften wie Linearität und Zeitinvarianz aufweisen, lassen sich häufig auf LZI-Systeme reduzieren: Beispielsweise werden nichtlineare dynamische Systeme häufig in einem gewissen Arbeitspunkt untersucht und dazu im interessierenden Bereich linearisiert.
LZI-Systeme sind in der Regel in der Literatur außerdem kausal und punktkonzentriert. Das führt zu einer weiteren Vereinfachung der Methoden, die für Analyse und Entwurf dynamischer Systeme Verwendung finden.
Eigenschaften Linearität mini|Überlagerungsprinzip
Ein System heißt dann linear, wenn ein mit gewichtetes Eingangssignal zu einem entsprechend gewichteten Ausgangssignal führt.
Dann gilt auch, dass sich aus einer Summe von gewichteten Eingangssignalen das Ausgangssignal als entsprechende Summe der ergibt. Das wird als Superpositionsprinzip, oder auch als Überlagerungsprinzip bezeichnet.
Für den mathematischen Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang gilt bei linearen Systemen:
Anschaulich entspricht das folgendem Versuch: Am Eingang des Systems wird ein Signal angelegt und die Reaktion beobachtet. Danach wird davon unabhängig die Reaktion auf ein zweites Signal untersucht. Beim Anlegen eines Eingangssignals, das die Summe aus den beiden zuvor begutachteten Signalen bildet, lässt sich feststellen, dass die Reaktion am Ausgang der Addition der beiden einzelnen Antworten entspricht, wenn das System linear ist.
Wenn ein System linear ist, dann ist auch der Zusammenhang von Ein- und Ausgang mit den internen Zustandsgrößen linear, also der Zusammenhang zwischen und , sowie der Zusammenhang zwischen und .
Zeitinvarianz mini|Beispiel zur Zeitinvarianz: Eine zeitliche Verschiebung des Inputs um die Zeit , also , führt zum gleich geformten, aber ebenfalls um die Zeit verschobenen Output .
Ein System heißt dann zeitinvariant, wenn für jede beliebige Zeitverschiebung um t0 gilt:
Das bedeutet, dass sich die Charakteristik des Systemverhaltens nicht mit der Zeit ändert. Das Ausgangssignal behält bei einer beliebigen Zeitverschiebung des Eingangssignals den Zeitbezug zum Eingangssignal bei und reagiert darauf identisch. Dieses Prinzip wird auch als Verschiebungsprinzip bezeichnet.
Das Gleiche gilt auch für den Zusammenhang von Ein- und Ausgang mit den internen Zustandsgrößen .
Kausalität und Sprungfähigkeit Systeme aus dem Anwendungsspektrum der LZI-Systeme sind realisierbar und daher kausal. D.h. im Signalausgang spielen zukünftige Signaleingänge keine Rolle. Der Signaleingang wird als Ursache für den Signalausgang (Wirkung) angesehen. Das entspricht auch dem Kausalprinzip: „Es gibt keine Wirkung ohne Ursache“. mini|LZI-System
Mathematisch gesehen ist ein System kausal, wenn die Impulsantwort für vergangene Zeiten gleich Null ist:
Den Grenzfall bildet das Thema „Gleichzeitigkeit“: Beispiel: In der Mechanik kommt es bei der Ausübung einer Kraft gleichzeitig zu Kraftreaktionen (Actio und Reactio). Wenn man nur die Signale der gemessenen Kräfte hat, dann ist es eine Sache der Interpretation, welche Kraft die Ursache darstellt und welche die Wirkung.
Verwandt sind die so genannten „sprungfähigen Systeme“, bei denen die Wirkung tatsächlich gleichzeitig mit der Ursache entsteht. Die meisten realen Systeme sind nicht sprungfähig, da sie eine Trägheit aufweisen. Z.B. auch ein elektrisches Signal an einem Sensor kann nicht plötzlich ohne jeden Zeitverzug ansteigen, da ja immer kleine Signalverzögerungen wirken, z. B. durch Kapazitäten in Leitungen oder Bauteilen.
Sprungfähige Systeme können z. B. nur mit Vorsicht mit Differentialgleichungen behandelt werden, da die internen Zustände auf einen plötzlichen Eingang mit unendlicher Steigung reagieren. Aber Sprungfähigkeit bzw. Gleichzeitigkeit ist bei LZI-Systemen durchaus erlaubt.
Kausalität gilt auch für Systeme ohne Eingangsgröße . Die Ursache für den Zeitablauf der Ausgangsgröße ist dann der Startwert der internen Zustandsgrößen . Das ist die so genannte Eigenbewegung des Systems.
Frequenzantwort Die Antwort eines LZI-Systems auf ein sinusförmiges Eingangssignal ist ebenfalls sinusförmig und hat die gleiche Frequenz. Ein LZI-System kann keine neuen Frequenzen erzeugen (z. B. Oberwellen). Es kann nur die Amplitude des Eingangs-Sinus verändern und eine Zeitverschiebung hinzufügen (Phasengang). Diese Signal-Veränderungen sind oft abhängig von der Frequenz und werden in einem Bode-Diagramm visualisiert.
Nichtlineare Systeme führen dagegen zu einer Signalverzerrung und zu weiteren Frequenzen im Ausgangssignal (Klirrfaktor).
Punktkonzentriert LZI-Systeme sind Punktkonzentriert, das bedeutet räumliche Ausdehnungen der Energiespeicher in den Systemen spielen keine Rolle. Wenn räumliche Aspekte nicht vernachlässigbar sind, dann benötigt man aufwändigere Mathematik wie z. B. partielle Differentialgleichungen. Als Beispiel sei die Temperaturspeicherung einer Heizwalze gegeben. Bei lokaler Erhitzung breitet sich die Wärme langsam über die Breite der Walze aus: Die Zeitfunktion der Erwärmung hat auch eine ortsabhängige Komponente und hängt auch vom Wärmehaushalt an entfernteren Stellen ab. Bei punktkonzentrierten Systemen werden derartige Aspekte vereinfacht betrachtet.
Punktkonzentrierte Systeme bilden also kein „Kontinuum“, sondern haben eine endliche Anzahl interner Freiheitsgrade bzw. Energiespeicher.
Kommutativität bei Signalflussplan-Umformungen LZI-Systeme sind im Signalflussplan besonders leicht handhabbar: Beispielsweise können sie vertauscht werden und nach relativ einfachen Regeln innerhalb vom Plan verschoben werden. Durch die Kommutativität lässt sich ein Signalflussplan vereinfachen oder übersichtlicher organisieren. Auch Berechnungen anhand des Signalflussplans fallen leichter.
LZI-Systeme in verschiedenen Darstellungen Zustandsraumdarstellung im Zeitbereich (kontinuierlich)
Die gebräuchlichste Systemdarstellung für zeitkontinuierliche stetige Systeme (sog. Differentialsysteme) im Zeitbereich beruht auf inhomogenen linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und hat in Zustandsraumdarstellung die Form
Diese Formeln gelten sowohl für Mehrgrößensysteme als auch für Eingrößensysteme. Im Grenzfall ist das System eindimensional (erster Ordnung). Dann sind die Vektoren und Matrizen nur skalare Größen.
Die Matrix wird für sprungfähige Systeme benötigt, d. h., wenn der System-Ausgang ohne Zeitverzug auf einen Systemeingang reagieren kann.
Die allgemeine Lösung dieses Differentialgleichungssystems erhält man direkt über die Lösung des homogenen DGL-Systems und anschließende Variation der Konstanten oder indirekt mit Hilfe der Laplace-Transformation. Sie liefert Zustands- und Ausgangsvektor als Vektorfunktionen zur Zeit in Abhängigkeit vom Vektor der Eingangssignale und vom Vektor des Anfangszustands zur Zeit :
Für den konkreten Fall muss das Integral gelöst und bei mehrdimensionaler Zustandsgröße die als Matrixexponential geschriebene Übergangsmatrix ermittelt werden. Letzteres ist beispielsweise mit Hilfe des Cayley-Hamilton-Theorems, durch Diagonalisierung der Zustandsmatrix oder mithilfe der Laplace-Transformation möglich.
Beispiel: Für ein System 1. Ordnung mit der Zeitkonstante und dem Verstärkungsfaktor sind die Systemparameter gegeben durch , , und . Für eine Sprungantwort zum Zeitpunkt mit der Amplitude und dem Anfangszustand erhält man nach Ausführung der Integration das Ergebnis für den Zeitverlauf des Zustandes für :
Zustandsraumdarstellung im Zeitbereich (diskret) Die entsprechende Systemdarstellung für zeitdiskrete Mehr- und Eingrößensysteme beruht auf linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten und hat die Form:
Die Lösung des Differenzengleichungssystems erhält man als Summe der Lösung des homogenen Systems und einer partikulären Lösung, die man mit der Ansatzmethode ermittelt, oder indirekt mit Hilfe der z-Transformation oder einer anderen diskreten Operatorenrechnung. Sie liefert Zustands- und Ausgangsvektor als Vektorfunktionen zum diskreten Zeitpunkt in Abhängigkeit vom Vektor der Eingangssignale und vom Vektor des Anfangszustands zur Zeit :
Für den konkreten Fall müssen die Matrixpotenz der Übergangsmatrix ermittelt und Summe explizit berechnet werden.
Abtastsysteme Zeitdiskrete Systeme sind in der Regel eigentlich kontinuierlich, aber die Werte von sind nur zu bestimmten Zeitpunkten bekannt. Gleichwertige Schreibweisen sind z. B. für x:
Digitale Mess- oder Steuerungs-Systeme „tasten“ kontinuierliche Mess-Signale in regelmäßigen Zeitabständen ab. Digitalrechner berechnen nicht messbare Größen zu den Abtastzeitpunkten aus den Werten, die bei der vorhergehenden Abtastung gemessen wurden. Man nennt zeitdiskrete Systeme in der Regelungstechnik daher auch Abtastsysteme.
Wenn die Eingangsgröße durch einen Digitalregler erzeugt wurde (Stellsignal), dann wird sie in der Regel in der physikalischen realen Welt zu einem treppenförmigen kontinuierlichen Signal . Der Digitalregler ändert den Wert dieses Signals an den Abtastzeitpunkten - und in den Zwischenpunkten ist das Signal konstant. Dieses Verhalten von Signalausgängen wird auch Sample-and-Hold genannt.
Die Lösung des kontinuierlichen Systems wird mit dem Gedanken des „Sample-and-Hold“ anwendbar auf diskrete Systeme: Jeder Zeitbereich zwischen zwei Abtastungen kann als Sprungantwort aufgefasst werden: Der Anfang dieses Zeitbereichs entspricht der Anfangsbedingung zum Zeitpunkt , das Ende des Zeitbereichs liefert die berechneten Größen zum Zeitpunkt .
Die Lösung der Differenzengleichung für die Abtastzeitpunkte in Abhängigkeit vom Eingangsvektor und den Bedingungen zum Zeitpunkt ist dann:
Diese Lösung, abgeleitet aus der kontinuierlichen Differentialgleichung ist also von der Form:
wobei sich die Parameter des diskreten Systems aus den Parametern des kontinuierlichen Systems berechnen lassen:
Beispiel: Für ein System 1.Ordnung mit der Zeitkonstante und Verstärkungsfaktor sind die Systemparameter des kontinuierlichen Systems gegeben durch und . Die Parameter des diskreten Systems lassen sich dann z. B. durch folgende Formeln berechnen: {| class="wikitable" !Berechnung der Parameter eines diskreten Systems 1. Ordnung ! ! |- |Exakte Berechnung (aus Vergleich der Lösungsformeln)
|Lineare Näherung (nach Linearisierung der e-Funktion)
|Lineare Näherung (durch Anwendung des Differenzenquotienten)
|Bilineare Näherung (Tustin-Formel, Trapezregel)
|} Die exakte Berechnung bildet das kontinuierliche Systemverhalten sehr genau ab. Die erste lineare Näherung ergibt sich aus einer Reihenentwicklung der e-Funktion (siehe auch Matrixexponential) und ist am einfachsten. Die zweite lineare Näherung wird durch Anwendung des Differenzenquotienten auf die DGL hergeleitet. Die bilineare Näherung liefert etwas bessere Ergebnisse, als die lineare Näherung, insbesondere, wenn die Abtastzeit in der Größenordnung von ist.
Impulsantwort (kontinuierlich)
Unter einem Dirac-Impuls (Einheitsimpuls) versteht man einen einmaligen „unendlich kurzen“ und „unendlich hohen“ Impuls zum Zeitpunkt , wobei die Fläche unter dem Impuls (das Integral, die „Energie“ des Stoßes) genau ist. Der Dirac-Impuls ist daher keine „normale“ Funktion, sondern eine Distribution.