Die Schur-Eigenschaft, benannt nach Issai Schur, ist eine Eigenschaft aus der mathematischen Theorie der normierten Räume, es handelt sich um eine enge Beziehung zwischen der Normtopologie und der schwachen Konvergenz.
Definition Ein normierter Raum hat die Schur-Eigenschaft, wenn jede schwach-konvergente Folge auch normkonvergent ist.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Definition 2.5.25
Genauer bedeutet das: Ist eine Folge im normierten Raum und ist , so dass schwach, das heißt für jedes stetige, lineare Funktional des Raums in den Grundkörper, so folgt bereits .
Bemerkung Da umgekehrt aus der Normkonvergenz stets die schwache Konvergenz folgt, kann man die Schur-Eigenschaft auch so formulieren, dass die Normtopologie und die schwache Topologie dieselben konvergenten Folgen haben. Daraus folgt nicht, dass die Topologien übereinstimmen, denn die Folgen genügen nicht zur Beschreibung der schwachen Topologie. In der Tat stimmen diese Topologien nur dann überein, wenn der Raum endlichdimensional ist.
Beispiele Jeder endlichdimensionale, normierte Raum hat die Schur-Eigenschaft, denn dann stimmen Normtopologie und schwache Topologie überein. Satz von Schur: Der Folgenraum hat die Schur-Eigenschaft.Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. 1984, ISBN 0-387-90859-5. Kapitel VII, Seite 85, Schur's Theorem Dies wurde von Issai Schur im Jahre 1920 bewiesenJ. Schur: Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, J. Reine und angewandte Mathematik (1920), Band 151, Seiten 79–111, daher trägt diese Eigenschaft Schurs Namen. Die Folgenräume , haben nicht die Schur-Eigenschaft. Ist die Folge, die an der -ten Stelle eine 1 und an allen anderen Stellen eine 0 hat, so zeigt man in der schwachen Topologie, aber wegen gilt nicht in der Normtopologie.
Eigenschaften Ist ein normierter Raum isomorph zu einem normierten Raum mit Schur-Eigenschaft, so hat dieser ebenfalls die Schur-Eigenschaft. Das liegt daran, dass isomorphe normierte Räume homöomorphe schwache Topologien haben. Unterräume von Räumen mit Schur-Eigenschaft haben ebenfalls die Schur-Eigenschaft. Die Schur-Eigenschaft überträgt sich nicht auf Quotientenräume, denn bekanntlich ist jeder separable Banachraum ein Quotientenraum von , so auch der Raum , der die Schur-Eigenschaft nicht hat. Unendlich-dimensionale Räume mit der Schur-Eigenschaft sind nicht reflexiv.Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Korollar 2.8.11 Jeder normierte Raum mit der Schur-Eigenschaft hat die Radon-Riesz-Eigenschaft. Jeder Banachraum mit der Schur-Eigenschaft hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft. In einem Banachraum mit Schur-Eigenschaft ist eine Teilmenge genau dann schwach-kompakt, wenn sie norm-kompakt ist.F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory: Springer-Verlag (2006), ISBN 978-0-387-28142-1, Theorem 2.3.7 Banachräume mit der Schur-Eigenschaft sind schwach folgenvollständig, das heißt jede schwache Cauchyfolge hat einen schwachen Grenzwert.Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators, Birkhäuser-Verlag, Kapitel 3.5 Weak sequential completeness and the Schur property Wie eng die Schur-Eigenschaft mit dem Raum verknüpft ist, zeigt folgendes Ergebnis: Ist ein Banachraum mit der Schur-Eigenschaft, so enthält jeder abgeschlossene, unendlichdimensionale Unterraum einen zu isomorphen Unterraum.T. J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory, John Wiley & Sons (2001), ISBN 0-471-37214-5, Korollar 5.12
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis