In der Serienfertigung von Regeleinrichtungen werden anstelle der analogen Regler zunehmend digitale Regler eingesetzt, weil sie verschiedene technische Vorteile aufweisen. Dazu gehören: einmaliger Hardware-Entwicklungsaufwand, einfache parametrische System-Änderungen per Software, Realisierung komplexere Reglerstrukturen, Multitasking. Analoge Regler lassen sich dagegen nur schwer auf neue Anforderungen anpassen. Die einzigen Bereiche, in denen analoge Regler Vorteile gegen digitale Regelungstechnik besitzen, sind Anwendungen, deren Bedingungen sich nicht ändern und in denen sehr kurze Ansprechzeiten b.z.w. maximales Echtzeitverhalten gefragt sind, oder in solchen wo Nichtangreifbarkeit der zentrale Faktor ist.
Bei den meisten Regeleinrichtungen handelt es sich bei den Regelstrecken um kontinuierlich wirkende analoge Eingrößensysteme, die sich linear, nichtlinear und totzeitbehaftet verhalten können. Für diese Regelstrecken sollen bestimmte physikalische Größen wie Temperatur, Kraft, Druck, Geschwindigkeit, Niveau usw. geregelt werden. Die dafür erforderlichen Regler können eine analoge oder digitale Systemstruktur aufweisen.
Bei der digitalen Regelung erfolgt im einfachsten Falle eine zeitliche Abtastung und Digitalisierung der Regeldifferenz. Im gleichen Abtast-Intervall berechnet ein Mikrocomputer z. B. mit Hilfe von Differenzengleichungen den notwendigen Regel-Algorithmus. Die digitale Ausgangsgröße des Reglers, die Stellgröße, wird für die meist analog wirkenden Regelstrecken durch Wandler und Speicher analogisiert. Andere Begriffe der digitalen Regelung bezeichnen diesen Vorgang als „zeitdiskrete Regelung“ oder auch als „Abtastregelung“.
Analoge wie digitale Regler benötigen als Eingangssignal die Regelabweichung und einen Regleralgorithmus, der die gewünschte Dynamik des geschlossenen Regelkreises bestimmt.
Digitale Regler werden durch Mikrocomputer realisiert. Der Computer benötigt für die digitale Signalverarbeitung Ein- und Ausgangsschnittstellen, um das kontinuierliche Eingangssignal zyklisch abzutasten und digital mit speziellen Programmiersprachen berechnen zu können. Der Mikrocomputer verarbeitet die abgetasteten Signalwerte als Eingangsfolgen mit Hilfe von Differenzengleichungen zu Ausgangsfolgen. Die so schrittweise errechneten Stellgrößen-Anteile jeder Komponente der Ausgangsfolge werden über einen D/A-Wandler und ein Speicher-Halteglied wieder als feingestuftes quasi kontinuierliches Signal an die kontinuierlich wirkende Regelstrecke geliefert.
Grundlagen der numerischen Berechnung und Regelung Verhalten der analogen Regler Das Systemverhalten von kontinuierlich wirkenden linearen, dynamischen Übertragungssystemen wird von gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Mittels der Laplace-Transformation können die Terme der Differentialgleichung in den komplexen Bildbereich (s-Bereich) als Übertragungsfunktion mit dem Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal als gebrochen-rationale Gleichung überführt werden:
Mit der Nullstellenbestimmung lassen sich die Polynome der Übertragungsfunktion in die Produktdarstellung mit einzelnen Elementarsystemen erster Ordnung (Linearfaktoren) zerlegen. Diese Form im s-Bereich erlaubt mit der Rücktransformation in den Zeitbereich die Lösung der Differentialgleichung und darüber hinaus Aussagen des Systemverhaltens, der Systemstabilität, der Systemanalyse und der Systemsynthese.
Analoge Standardregler verarbeiten kontinuierliche Signale und bestehen in der Regel aus Operationsverstärkern mit RC-Spannungsteilern, die ein rückwirkungsfreies Impedanzverhältnis bilden. Das zugehörige Systemverhalten im komplexen Frequenzbereich kann unmittelbar als Verhältnis der Impedanzen als Übertragungsfunktion G(s) oder G(jω) geschrieben werden.
Bei analogen Reglern stellen die Hardware-Komponenten, z. B. Operationsverstärker mit RC-Beschaltung, die Lösung der Differenzialgleichung des Regelalgorithmus dar.
Verhalten der digitalen Regler Zeitdiskrete lineare dynamische Systeme sind dadurch gekennzeichnet, dass die inneren Systemzustände nur zu einzelnen Zeitpunkten definiert sind und an den Ein- und Ausgängen zeitdiskrete Signale auftreten. Sie spielen im Rahmen der Informationstechnik und digitalen Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle und werden in Form von Zahlenfolgen beschrieben.
Digitale Ein-Ausgangssignale der Hardware Der Rechenalgorithmus eines Digitalrechners erlaubt keine kontinuierliche Berechnung von analogen zeitabhängigen Signalen. Deshalb werden zu bestimmten Zeitpunkten die analogen Eingangssignale, z. B. die Regelabweichung , mit Hilfe eines (idealen) -Abtasters und einem A/D-Wandlers als abgetastet. Die Abtastung des kontinuierlichen Signals der Regelabweichung mit der Abtastfrequenz erfordert neben dem A/D-Wandler eine funktionell kleine Haltefunktion (Sample-and-Hold-Verfahren), welche dafür sorgen muss, dass der Mikrocomputer den digitalisierten Wert auch sicher erfassen kann.
Das gewünschte System-Übertragungsverhalten des digitalen Reglers wird für die gegebene Eingangsfolge mit Differenzengleichungen berechnet und taktsynchron als Ausgangssignal mit Zahlenwerten ausgegeben. Ist ein analoges Ausgangssignal erforderlich, erlaubt eine spezielle Hardware mit einem D/A-Wandler mit einer Haltefunktion (Halteglied) die Umwandlung in ein gestuftes quasi-stetiges Ausgangssignal u(t) als Stellgröße des Reglers.
Mikrocomputer als digitaler Regler Bei zeitdiskreten Systemen besteht das Eingangssignal eines dynamischen Systems im Takt der Abtastung aus nummerierten Folgegliedern der Eingangsfolge (Wertefolge) und das Ausgangssignal aus Folgegliedern der Ausgangsfolge (Wertefolge). Beim Digitalregler wird diese Folge von Werten der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen berechnet zu Folgegliedern der Ausgangsfolge. Die Differenzengleichungen des Digitalreglers bestimmen mit dem Regelalgorithmus und der Stellgröße in Form von Berechnungspunkten der Ausgangsfolge über die Regelstrecke das dynamische Verhalten des gesamten Regelkreises. Mit der Regelgröße wird im zeitlichen Abstand der Abtastzeit eine Annäherung an die gewünschte analytische Funktion des Regelkreisverhaltens erreicht.
Da technische Regelstrecken häufig analoge Eingänge aufweisen, muss die Ausgangsfolge des Mikrocomputers über eine geeignete Hardware zu einem quasi analogen Signal umgeformt werden.
Die Anzahl der Folgeglieder der Abtastung ist nicht begrenzt. Es werden bei einer Regelung unendlich viele Folgeglieder im realen zeitlichen Abstand der Abtastzeit ausgeführt. Benötigt und gespeichert werden aber nur eine aktuelle Programmzeile mit Differenzengleichungen für die Berechnung von Wertefolgen des Stellgliedes und eine zurückliegende Programmzeile mit den Differenzengleichungen für die Berechnung der Wertefolgen , sofern es sich um Differenzengleichungen 1. Ordnung handelt. Gespeichert werden also vorübergehend nur die aktuellen Werte der berechneten Differenzengleichungen und die Werte einer zurückliegenden Berechnung der Differenzengleichungen. Weitere zurückliegende Programmzeilen mit Wertefolgen werden nicht benötigt und gelöscht.
Zum Vergleich: Bei der Simulation eines Regelkreises mit einem Personalcomputer werden im Abstand sämtliche Ergebnisse der Differenzengleichungen mit den nummerierten Programmzeilen als Tabelle mit -Zeilen abgespeichert. Mit der Simulation wird die Funktion und Sicherheit eines Regelkreises überprüft, weil bei falscher Parametrierung mit Instabilität des Regelkreises die Regelstrecke Schaden annehmen kann.
Differenzengleichungen Für die Aufstellung der meisten Differenzengleichungen werden verschiedene Verfahren eingesetzt, wie das einfache Euler-Streckenzugverfahren oder die besseren und aufwendigeren Mehrschrittverfahren. Die komplizierteren Mehrschrittverfahren benötigen vorteilhaft für ein gleiches genaues Berechnungsergebnis eine wesentlich geringere Anzahl von Folgegleichungen.
Eine Differenzengleichung ist eine numerisch lösbare Berechnungsvorschrift für eine diskret definierte Folge von Folgegleichungen, welche Variablen zu fortlaufenden nummerierten Ereignissen bzw. nummerierten Zeitpunkten im Abstand eines Intervalls berechnen.
Die rekursive Lösung einer Differenzengleichung erster Ordnung erfolgt von einer Anfangsbedingung durch nummerierte Folgegleichungen, welche sich je auf das Ergebnis einer zurückliegenden Folgegleichung bezieht. Bei Differenzengleichungen höherer Ordnung bezieht sich jede aktuelle Folgegleichung, entsprechend der Ordnungszahl, auf mehrere der zurückliegenden Folgegleichungen.
Die Allgemeine Form einer rekursiven Differenzengleichung (Euler-Rückwärts) für ein dynamisches System 1. Ordnung lautet:
{| class="wikitable"
Dabei ist ein Wert der Ausgangsgröße, die vorherige Ausgangsgröße, die Eingangsgröße, ein Zeitintervall, „System“ entspricht der Form einer modifizierten Differentialgleichung eines Linearfaktors mit einem Differenzenquotient.
Bei den häufig vorkommenden Differenzengleichungen 1. Ordnung wird nur eine Programmzeile für die Berechnung der aktuellen Ausgangsgröße und die Programmzeile der vorherigen Berechnung gespeichert. Jede Ausgangsgröße bezieht sich rekursiv auf die vorhergehende Ausgangsgröße als Eingangsgröße. Innerhalb einer Reihe von Differenzengleichungen einer Programmzeile ist die Ausgangsgröße einer Differenzengleichung die Eingangsgröße der nächsten Differenzengleichung der gleichen Programmzeile.
Identifikation der Regelstrecke Über eine Identifizierung des zeitlichen Verhaltens der Regelstrecke werden Übertragungsglieder vorzugsweise als Linearfaktoren in Zeitkonstantendarstellung analysiert. Mittels eines Personal-Computers wird mit einer Simulation das Verhalten des Reglers und das der Strecke durch Berechnung von Differenzengleichungen bestimmt.
Weitere Vertiefung zur Systemidentifikation siehe Artikel Regelstrecke#Experimentelle Systemidentifikation von Regelstrecken nach der Sprungantwort
Simulation des Regelkreises Ob es sich bei der numerischen Berechnung eines dynamischen Systems um einen digitalen Regler oder um eine Regelkreis-Simulation am Personalcomputer mit vielen Differenzengleichungen von Teilsystemen handelt, besteht der Unterschied nur darin, dass das Eingangssignal e(t) des digitalen Reglers mit Hardware-Komponenten zu einer Eingangsfolge mit der Abtastperiode abgetastet werden muss.
Bei der Simulation einer Regeleinrichtung wird in einem Personalcomputer jedes einzelne dynamische System mit Differenzengleichung rekursiv berechnet. Für jedes gegebene Eingangssignal wird mittels Differenzengleichungen einer Programmzeile ein aktuelles Ausgangssignal berechnet und bezieht sich dabei auf einen zurückliegenden Wert der Programmzeile . Sämtliche dynamischen Teilsysteme einer Programmzeile bestimmen rekursiv im Abstand eines Zeitintervalls einen Berechnungspunkt der Stellgröße .
Jedes dynamische Teilsystem ist innerhalb einer Programmzeile durch eine Differenzengleichung beschrieben. Die Programmzeilen entsprechen endlichen nummerierten Folgen , die für einen Betrachtungszeitraum eine Annäherung an das zeitverhalten der Originalfunktion des Regelkreises darstellt.
Sämtliche Ergebnisse aller Differenzengleichungen des Reglers, der Regelstrecke, der Regelgröße und der Regelabweichung werden für -Zeilen als Tabelle gespeichert.
Parametrierung des digitalen Reglers Die Simulation eines Regelkreises und das Arbeiten eines Digitalreglers in Verbindung mit einer Regelstrecke sind in Bezug auf die Verwendung von Differenzengleichungen ähnlich.