Die dizyklischen Gruppen sind spezielle endliche Gruppen, die sich als Erweiterung zyklischer Gruppen ergeben. Es handelt sich dabei um eine Folge von Gruppen der Ordnung , Dic steht dabei für die englische Bezeichnung dicyclic group.

Konstruktion der Gruppe Wir gehen aus von einer zyklischen Gruppe , die wir als multiplikative Untergruppe in realisieren, d. h.

Die Gruppe wird von erzeugt und es ist

Wir betrachten hier die gerade Gruppenordnung , damit ist. Indem wir die komplexen Zahlen als Unteralgebra der Quaternionen auffassen, ist auch eine multiplikative Untergruppe des vierdimensionalen Raums . Wir wollen als weiteres Element zur Gruppe hinzunehmen und definieren daher

von erzeugte multiplikative Untergruppe von .

Da ist , und man kann zeigen, dass

Dazu rechnet man zunächst und damit ; aus dieser Formel ergibt sich sofort, dass tatsächlich nur die angegebenen Elemente enthält.H. S. M. Coxeter: Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press (1974), Kapitel 7.1 The Cyclic and Dicyclic groups = 74–75

Da die Elemente genauso wie die ebenfalls ein regelmäßiges 2n-Eck aufspannen, nennt man diese Gruppe dizyklisch, eine Bezeichnung, die auf G. A. Miller zurückgeht.G. A. Miller, H. F. Blichfeldt, L. E. Dickson: Theory and application of finite groups, New York, Wiley 1916, Nachdruck Dover (1961)

Die dizyklische Gruppe als Erweiterung Man kann die dizyklische Gruppe als Erweiterung zweier zyklischer Gruppen schreiben: . Dabei ist die Inklusionsabbildung und . Offenbar liegt hier eine kurze exakte Sequenz vor.

Präsentation der dizyklischen Gruppen Mit obigen Bezeichnungen bestehen offenbar die Gleichungen . Das genügt bereits, die dizyklischen Gruppen zu beschreiben, denn die dizyklische Gruppe der Ordnung für erhält man durch folgende Präsentation über Erzeuger und RelationenSteven Roman: Fundamentals of group theory. Kapitel 12, Seite 347/348, Birkhäuser, Basel (2012): .

Dicn für kleine n

ist eine zur zyklischen Vierergruppe isomorphe Gruppe.

ist eine zur Quaternionengruppe isomorphe Gruppe.

ist eine 12-elementige Gruppe mit folgender Verknüpfungstafel:

1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b 1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b a a a2 a3 a4 a5 1 ab a2b a3b a4b a5b b a2 a2 a3 a4 a5 1 a a2b a3b a4b a5b b ab a3 a3 a4 a5 1 a a2 a3b a4b a5b b ab a2b a4 a4 a5 1 a a2 a3 a4b a5b b ab a2b a3b a5 a5 1 a a2 a3 a4 a5b b ab a2b a3b a4b b b a5b a4b a3b a2b ab a3 a2 a 1 a5 a4 ab ab b a5b a4b a3b a2b a4 a3 a2 a 1 a5 a2b a2b ab b a5b a4b a3b a5 a4 a3 a2 a 1 a3b a3ba2b ab b a5b a4b 1 a5 a4 a3 a2 a a4b a4b a3ba2b ab b a5b a 1 a5 a4 a3 a2 a5b a5b a4b a3ba2b ab b a2 a 1 a5 a4 a3

Hier ist und . Da , kann man auf die Potenzen verzichten und stattdessen mit einem Vorzeichen arbeiten, wie wir es bei mit und bereits getan hatten. Es ist dann

Einzelnachweise

Kategorie:Endliche Gruppe