miniatur|Jacobi-Koordinaten veranschaulicht für vier Körper. Hellblau sind jeweils die virtuellen Massen eingezeichnet. Die Jacobi-Koordinaten sind r1, r2, r3 und R. Die Jacobi-Koordinaten sind ein System verallgemeinerter Koordinaten für n-Körpersysteme in der Physik. Sie werden insbesondere in der Himmelsmechanik und der Betrachtung mehratomiger Moleküle und chemischer Reaktionen verwendet.John Z. H. Zhang, Theory and application of quantum molecular dynamics, World Scientific 1999, S. 104.
Jacobi-Koordinaten für N Teilchen Der Algorithmus zum Erhalt der Jacobi-Koordinaten lässt sich wie folgt beschreiben: Man betrachtet zwei der Teilchen und berechnet ihren Schwerpunkt , ihre Gesamtmasse und die relative Position zueinander . Man ersetzt nun die beiden Teilchen durch ein neues virtuelles Teilchen mit Masse am Ort . Der Relativabstand stellt dabei die erste Jacobi-Koordinate dar: . Dies wiederholt man nun für die anderen Teilchen, sowie das neue virtuelle Teilchen. Nach derartigen Schritten erhält man die Jacobi-Koordinaten als und vom letzten Schritt.
In Formeln ergeben sich die Jacobi-Koordinaten zu
mit
Dabei ist die Gesamtmasse des Systems. Die letzte Jacobi-Koordinate entspricht dem Schwerpunkt des Systems. Die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnen sich als
zu
Verwendung In der Himmelsmechanik ermöglichen die Jacobi-Koordinaten, die Hamilton-Funktion eines Planetensystems in einen keplerschen und einen Interaktionsteil aufzuspalten. Diese nutzten Wisdom und Holman 1991J. Wisdom, M. J. Holman: Symplectic maps for the n-body problem. The Astronomical Journal 102, 1991, S. 1528–1538, doi:10.1086/115978. zur Konstruktion eines symplektischen Integrators hoher Geschwindigkeit, welcher vor allem in der Implementation namens Swift durch Levison und DuncanH. F. Levison, M. J. Duncan: The long-term dynamical behavior of short-period comets. Icarus 108, 1994, S. 18–36, doi:10.1006/icar.1994.1039. weite Verbreitung fand.
Einzelnachweise
Kategorie:Himmelsmechanik Kategorie:Carl Gustav Jacob Jacobi als Namensgeber