Als Primzahltupel – auch englisch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss. Abgerufen am 11. Juni 2014.
Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime -Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form Primzahlencousins (engl. cousin primes) Abgerufen am 11. Juni 2014. und Tupel von zwei Primzahlen der Form werden auch sexy Primzahlen (englisch sexy primes) Abgerufen am 11. Juni 2014. genannt.
Definition Ist für die Primzahltupel mit Elementen die Menge aller möglichen Konstellationen (die selbst wieder -Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen: Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein: Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:Lies: Für alle primen Module kleiner-gleich existiert ein Rest kleiner als , der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich des Moduls .Die Aussagen „[…] zu allen […] nicht […]“ und „[…] zu keiner […]“ sind äquivalent, siehe Quantor. Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der -spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt): Die Differenzen der Elemente zum ersten Element müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:Wobei für das -te Element aus dem -Tupel steht.
Für vorgegebene, korrekte Konstellationen ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen .
Für prime 2-Tupel (also ) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind und wohlbekannt. Diese lauten:
Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel :
Durch die Bedingung 2 wird für jedes eine endliche Anzahl an primen -Tupeln ausgeschlossen. Im Falle wird die Konstellation bzw. das Primzahltupel ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von und da alle prime -Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich des Moduls vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation , welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul enthalten. Im Falle von kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation in der Form für darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle entweder oder größer als und teilbar durch ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).
Sonderfälle Für die kleinsten -Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.
Primzahlzwilling
Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).
Primzahldrilling Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also . 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge.
Da eine Dreiergruppe der Form p, p+2, p+4 stets eine durch drei teilbare Zahl enthält, sind (3; 5; 7) die einzig "echten" Primzahldrillige. Man definiert demnach Primzahldrillinge mit Hilfe eines Paares von Primzahlzwillingen, bei denen die übernächste ungerade Zahl ebenfalls prim ist, etwa (17; 19; 23).
Bei Primzahldrillingen der Form bilden die beiden ersten, bei jenen der Form die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich des Moduls .
Die vier Primzahlen zweier Primzahl-Tripel mit zwei gemeinsamen Primzahlen bilden ein Primzahl-Quadrupel, sind Primzahlvierlinge.
Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripeln ist, so sind fünf Primzahlen beteiligt und bilden ein Primzahl-Quintupel.
Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist.Bounded gaps between primes. Polymath1Wiki; abgerufen am 13. Juni 2014. Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf sechs reduziert werden.
Am 24. April 2019 wurde von Peter Kaiser das bisher größte Primzahl-Triplett mit 20.008 Dezimalstellen gefunden. Es lautet mit .Yates, Caldwell: The Largest Known Primes. primes.utm.edu
Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis (erzeugt mit Matheass 9.0): p p+2 p+4 p+6 5 7 11 7 11 13 11 13 17 13 17 19 17 19 23 37 41 43 41 43 47 67 71 73 97 101 103 101 103 107 103 107 109 107 109 113 191 193 197 193 197 199 223 227 229 227 229 233 p p+2 p+4 p+6 277 281 283 307 311 313 311 313 317 347 349 353 457 461 463 461 463 467 613 617 619 641 643 647 821 823 827 823 827 829 853 857 859 857 859 863 877 881 883 881 883 887 1087 1091 1093 1091 1093 1097 p p+2 p+4 p+6 1277 1279 1283 1297 1301 1303 1301 1303 1307 1423 1427 1429 1427 1429 1433 1447 1451 1453 1481 1483 1487 1483 1487 1489 1487 1489 1493 1607 1609 1613 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1783 1787 1789 1867 1871 1873 1871 1873 1877 1873 1877 1879 p p+2 p+4 p+6 1993 1997 1999 1997 1999 2003 2081 2083 2087 2083 2087 2089 2137 2141 2143 2237 2239 2243 2267 2269 2273 2377 2381 2383 2657 2659 2663 2683 2687 2689 2687 2689 2693 2707 2711 2713 2797 2801 2803 3163 3167 3169 3251 3253 3257 3253 3257 3259 p p+2 p+4 p+6 3457 3461 3463 3461 3463 3467 3463 3467 3469 3527 3529 3533 3671 3673 3677 3847 3851 3853 3917 3919 3923 4001 4003 4007 4127 4129 4133 4153 4157 4159 4513 4517 4519 4517 4519 4523 4637 4639 4643 4783 4787 4789 4787 4789 4793 4931 4933 4937 p p+2 p+4 p+6 4967 4969 4973 5227 5231 5233 5231 5233 5237 5413 5417 5419 5437 5441 5443 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5647 5651 5653 5651 5653 5657 5653 5657 5659 5737 5741 5743 6197 6199 6203 6547 6551 6553 6823 6827 6829 6827 6829 6833 7207 7211 7213 p p+2 p+4 p+6 7753 7757 7759 7873 7877 7879 7877 7879 7883 8087 8089 8093 8231 8233 8237 8287 8291 8293 8291 8293 8297 8537 8539 8543 8623 8627 8629 8861 8863 8867 9007 9011 9013 9277 9281 9283 9337 9341 9343 9431 9433 9437 9433 9437 9439 9461 9463 9467
Primzahlvierling Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also . 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form als auch in der Form schreiben. Die Zahl in der Mitte () ist daher immer durch teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit und .
Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.
Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.
Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist. Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.
Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als asymptotisch durch die Formel
() gegeben.
Der bisher größte bekannte Primzahlvierling hat Dezimalstellen, wurde am 27. Februar 2019 von Peter Kaiser gefunden und ist gegeben durch mit .
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis : p p+2 p+6 p+8n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 - 5 7 11 13 1 11 13 17 19 7 101 103 107 109 13 191 193 197 199 55 821 823 827 829 99 1481 1483 1487 1489 125 1871 1873 1877 1879 139 2081 2083 2087 2089 217 3251 3253 3257 3259 231 3461 3463 3467 3469 377 5651 5653 5657 5659 629 9431 9433 9437 9439 867 13001 13003 13007 13009 1043 15641 15643 15647 15649 1049 15731 15733 15737 15739 1071 16061 16063 16067 16069 p p+2 p+6 p+8n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 1203 18041 18043 18047 18049 1261 18911 18913 18917 18919 1295 19421 19423 19427 19429 1401 21011 21013 21017 21019 1485 22271 22273 22277 22279 1687 25301 25303 25307 25309 2115 31721 31723 31727 31729 2323 34841 34843 34847 34849 2919 43781 43783 43787 43789 3423 51341 51343 51347 51349 3689 55331 55333 55337 55339 4199 62981 62983 62987 62989 4481 67211 67213 67217 67219 4633 69491 69493 69497 69499 4815 72221 72223 72227 72229 5151 77261 77263 77267 77269 p p+2 p+6 p+8n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 5313 79691 79693 79697 79699 5403 81041 81043 81047 81049 5515 82721 82723 82727 82729 5921 88811 88813 88817 88819 6523 97841 97843 97847 97849 6609 99131 99133 99137 99139 6741 101111 101113 101117 101119 7323 109841 109843 109847 109849 7769 116531 116533 116537 116539 7953 119291 119293 119297 119299 8147 122201 122203 122207 122209 9031 135461 135463 135467 135469 9611 144161 144163 144167 144169 10485 157271 157273 157277 157279 11047 165701 165703 165707 165709 11123 166841 166843 166847 166849 Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten ()
Primzahlfünfling Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also . 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form oder in der Form schreiben.
Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel ) immer mit und oder und .
Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von zueinander.
Alle primen Quintupel enthalten drei sich überlappende Primzahl-Tripel.
Alle primen Quintupel enthalten ein primes-Quadrupel.
Ob es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Selbst wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht es nicht aus, wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahldrillinge gibt.
Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis :