Ein Quandle ist in der Mathematik eine algebraische Struktur, die vor allem in der Knotentheorie Anwendung findet.
Definition Ein Quandle ist eine Menge mit einer Operation , so dass für alle gilt: (i) (ii) die durch definierte Abbildung ist eine Bijektion (iii) .
Bedingung (iii) heißt Selbstdistributivität.
Weil eine Bijektion ist, gibt es eine inverse Abbildung . Die Operation wird für durch
definiert.
Reidemeister-Bewegungen
Die Quandle-Operationen lassen sich mittels der Reidemeister-Bewegungen von Knotendiagrammen interpretieren:
Beispiele Jede abelsche Gruppe ist ein Quandle mit der Operation . Für eine Gruppe und definiert man den Quandle als die Menge mit der Operation . Für eine Gruppe definiert man den Quandle als die Menge mit der Operation . Jeder -Modul ist ein Quandle mit der Operation . Diese Quandle werden als Alexander-Quandle bezeichnet. Der Fundamentalquandle eines Knotens (oder allgemeiner einer Verschlingung) ist definiert wie folgt. Sei das Komplement einer regulären Umgebung und . Definiere
mit der (wohldefinierten) Verknüpfung , wobei den Meridian durch bezeichnet.
Literatur David Joyce: A classifying invariant of knots, the knot quandle. J. Pure Appl. Algebra 23 (1982), no. 1, 37–65. Sergei Matwejew: Distributive groupoids in knot theory. (russisch) Mat. Sb. (N.S.) 119(161) (1982), no. 1, 78–88, 160.
Weblinks Scott Carter: A Survey of Quandle Ideas
Kategorie:Algebraische Struktur Kategorie:Knoteninvariante