(51,25,12)-Blockplan

Der (51,25,12)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: Eine leere 51×51-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 25 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 12 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 51, k = 25, λ = 12), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In der Übersicht über die kleinsten symmetrischen Blockpläne sind die kleinsten solcher (v, k, λ) aufgeführt.

Bezeichnung Dieser symmetrische 2-(51,25,12)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 13 genannt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 51, k = 25, λ = 12 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 51 Blöcken und 51 Punkten. Jeder Block enthält genau 25 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 12 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 25 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 12 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existieren mindestens zwei nichtisomorphe 2-(51,25,12) - BlockpläneRudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Diese Lösungen sind: Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 18·1, 5·2, 4·3, 4·4, 2·6, 2·7, 3·8, 4·9, 2·10, 2·11, 2·14, 2·17, 1·18. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3. Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 12·1, 2·2, 2·4, 2·7, 6·8, 2·9, 2·10, 4·11, 2·12, 3·14, 2·15, 6·16, 2·17, 2·19, 2·21. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 2 3 5 9 11 12 13 14 17 23 28 29 30 32 34 36 37 38 39 40 44 45 47 48 1 2 3 7 8 12 14 16 19 20 21 22 25 27 29 30 37 38 40 42 43 45 48 50 51 1 2 3 6 7 9 10 13 16 17 18 19 23 24 25 27 28 30 33 35 38 39 42 44 50 4 5 7 8 9 10 12 18 19 20 23 24 25 26 30 31 32 37 38 39 43 44 47 48 51 1 4 5 7 9 11 13 15 16 18 22 32 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 51 3 6 8 9 10 11 13 16 19 26 28 29 30 32 33 34 37 38 41 42 43 46 48 49 51 2 3 4 5 7 10 13 20 23 26 27 28 31 32 33 35 36 37 40 42 43 45 48 49 50 2 4 6 8 9 12 13 17 21 23 24 27 30 33 39 40 41 43 45 46 47 48 49 50 51 1 3 4 5 6 8 9 14 15 16 19 20 21 26 27 28 33 34 35 39 40 43 44 47 48 3 4 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23 27 30 32 35 37 38 39 41 47 49 1 5 6 10 11 12 14 17 18 19 20 23 25 27 28 35 36 38 40 41 43 46 48 49 51 1 2 4 8 10 11 12 13 16 22 25 27 28 29 31 33 35 36 37 39 43 44 46 47 51 1 3 5 6 7 8 10 12 15 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14 17 18 20 21 26 34 35 36 41 42 43 44 47 50 51 1 3 6 7 9 11 12 14 16 20 24 25 26 31 33 36 37 39 41 44 45 46 48 49 50 1 2 6 12 13 16 17 18 19 20 22 24 26 31 32 33 34 35 37 38 40 41 43 45 47 1 2 3 4 6 8 10 14 15 16 17 22 23 24 31 32 34 36 38 43 44 48 49 50 51 4 7 12 13 14 15 16 18 24 25 26 28 29 30 33 34 35 36 38 40 47 48 49 50 51 1 4 5 6 7 10 13 14 17 18 20 21 22 24 29 30 33 34 36 37 39 42 43 46 48 3 6 7 8 9 12 13 15 17 18 19 21 22 25 28 29 31 32 35 36 39 43 45 48 49 1 6 9 13 14 15 21 23 24 25 26 27 29 30 31 32 35 36 37 40 41 42 43 44 51 3 5 7 9 10 11 12 15 16 17 22 23 24 25 27 29 31 33 34 40 41 42 43 47 48 1 7 11 12 13 15 17 19 20 21 22 23 26 27 28 30 31 32 33 34 44 46 48 50 51 1 2 4 6 7 10 12 14 15 19 23 25 26 28 29 32 34 39 41 42 43 45 46 47 50 1 2 3 4 5 6 10 11 13 18 19 21 22 25 26 29 30 31 40 41 44 47 48 49 50 1 3 4 5 8 9 10 12 13 15 19 20 24 27 29 30 31 34 35 36 38 41 45 46 50 1 2 5 7 8 9 11 14 15 18 19 22 24 27 28 30 32 33 36 37 41 43 47 49 50 5 6 8 10 11 13 14 15 16 17 19 20 25 30 31 32 33 36 39 40 42 45 47 50 51 2 3 5 6 7 15 16 18 20 21 23 28 29 30 31 33 36 38 41 43 44 45 46 47 51 2 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 16 19 21 22 23 24 26 28 31 36 38 40 42 46 1 3 4 5 9 12 14 16 17 18 19 21 23 29 31 32 33 35 37 42 46 47 49 50 51 1 2 5 7 8 16 17 21 25 26 27 30 31 32 34 35 36 38 39 41 42 46 47 48 49 5 6 8 11 12 14 18 22 23 26 27 29 30 31 33 34 35 38 39 42 43 44 45 49 50 1 4 8 9 10 12 16 18 20 21 22 23 25 28 30 32 33 34 36 40 41 42 44 45 49 1 2 4 5 6 7 8 9 11 13 15 16 17 18 20 23 25 26 27 29 34 37 45 49 51 6 7 8 10 11 16 18 19 21 23 24 27 29 32 34 35 36 37 40 44 45 46 47 48 50 2 3 5 7 8 13 14 19 20 22 23 24 25 29 32 33 34 35 39 40 41 44 46 49 51 2 4 5 6 8 11 12 15 17 20 21 24 25 28 29 32 33 35 37 38 41 42 44 48 50 Lösung 2 1 2 3 5 9 11 12 13 14 17 23 28 29 30 32 34 36 37 38 39 40 44 45 47 48 1 2 3 7 8 12 14 16 19 20 21 22 25 27 29 30 37 38 40 42 43 45 48 50 51 1 2 3 6 7 9 10 13 16 17 18 19 23 24 25 27 28 30 33 35 38 39 42 44 50 4 5 7 8 9 10 12 18 19 20 23 24 25 26 30 31 32 37 38 39 43 44 47 48 51 1 4 5 7 9 11 13 15 16 18 22 32 35 38 39 40 41 42 43 44 45 46 48 50 51 3 6 8 9 10 11 13 16 19 26 28 29 30 32 33 34 37 38 41 42 43 46 48 49 51 2 3 4 5 7 10 13 20 23 26 27 28 31 32 33 35 36 37 40 42 43 45 48 49 50 2 4 6 8 9 12 13 17 21 23 24 27 30 33 39 40 41 43 45 46 47 48 49 50 51 1 3 4 5 6 8 9 14 15 16 19 20 21 26 27 28 33 34 35 39 40 43 44 47 48 3 4 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22 23 27 30 32 35 37 38 39 41 47 49 1 5 6 10 11 12 14 17 18 19 20 23 25 27 28 35 36 38 40 41 43 46 48 49 51 1 2 4 8 10 11 12 13 16 22 25 27 28 29 31 33 35 36 37 39 43 44 46 47 51 1 3 5 6 7 8 10 12 15 17 22 24 27 29 31 32 33 34 36 38 39 41 43 48 50 1 2 9 10 11 15 19 20 21 22 23 24 27 28 30 31 32 34 37 40 41 43 44 46 50 5 9 10 13 14 16 17 20 21 22 24 25 30 31 33 34 35 36 37 39 40 41 42 48 51 2 3 5 6 9 10 12 15 18 21 22 25 28 29 30 31 35 41 42 43 44 45 47 48 49 1 3 8 11 13 15 18 20 21 23 24 25 26 27 29 30 32 33 35 36 41 44 45 48 51 3 4 5 11 16 17 19 21 22 23 24 25 27 29 31 32 33 38 40 42 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