In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet S-Dualität eine Dualität zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie- und Kohomologietheorien.
Definition
Es seien und zwei Spektra. Wir bezeichnen mit ihr Smash-Produkt und mit das Sphärenspektrum.
Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen und ist ein Morphismus von Spektren
so dass für jedes Spektrum die durch
definierten Abbildungen
Bijektionen sind.
Die Spektren und heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.
Zwei Spektren und heißen -dual für , wenn und S-dual sind. Dabei bezeichnet das durch definierte Spektrum.
S-dualer Morphismus
Seien und zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus
sein S-dualer Morphismus
definiert als das Bild von unter dem Isomorphismus . ( ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)
Insbesondere ist genau dann S-dual zu , wenn .
Beispiele
Die kanonische Äquivalenz ist eine S-Dualität. Für eine geschlossene -Mannigfaltigkeit mit Einhängungsspektrum wird die Milnor-Spanier S-Dualität
definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung für ein und eine Tubenumgebung mit Projektion . Dann ist und wir betrachten die Komposition , wobei die erste Abbildung auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von induziert wird. Dann ist
eine S-Dualität. Falls bzgl. eines Ringspektrums orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen -Orientierungen (Thom-Klassen) unter
den homologischen -Orientierungen (Fundamentalklassen).
Literatur Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008
Weblinks
Spanier-Whitehead: Duality in homotopy theory Milnor-Spanier: Two remarks on fiber homotopy type
Kategorie:Algebraische Topologie