Vektor

Im engeren Sinne versteht man in der analytischen Geometrie unter einem Vektor (lateinisch vector „Träger, Fahrer“) ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Solche Vektoren nennt man auch geometrische Vektoren. Ein geometrischer Vektor kann durch einen Pfeil dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleich lang, parallel und gleich orientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. Zahlentripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als Spaltenvektoren) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Eng verwandt mit den geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

Motiviert von der Koordinatendarstellung der geometrischen Vektoren werden oft auch -Tupel reeller Zahlen, also Elemente des , als VektorenWalter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 545. oder auch als Koordinatenvektoren bezeichnet.Vorlesung Uni Frankfurt Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass jeder -dimensionale reelle Vektorraum isomorph zum Vektorraum ist. Beispiele solcher Verwendung des Vektorbegriffs finden sich namentlich in der Wirtschaftsmathematik.

In der linearen Algebra wird der Begriff des Vektors allgemeiner und abstrakter gefasst. Im allgemeinen Sinn ist dort ein Vektor ein Element eines Vektorraums, das heißt ein Objekt, das mit anderen Vektoren addiert und mit Zahlen (Skalaren) multipliziert werden kann, wobei die von den „Pfeilvektoren“ bekannten Rechenregeln gelten.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit Vektoren als Elementen des „Tupelraums“ .

Geschichte Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über 300 Seiten starkes Buch. Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Um 1850 benutzte der irische Mathematiker Matthew O’Brien die Vektorrechnung zur Beschreibung mechanischer Sachverhalte, blieb aber weitgehend ignoriert. Kurz darauf entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions publizierte, wobei er die bahnbrechenden Leistungen Graßmanns ausdrücklich anerkannte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, Wladimir Ignatowski und Richard Gans verbreitet.

Schreibweise Vektoren werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben (, oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung () oder Ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit kleinen Frakturbuchstaben () üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind und . Der entsprechende lateinische Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für die Länge (den Betrag) des Vektors:

Geometrie Definition miniatur|Verschiebung des Dreiecks ABC durch Verschiebung der Punkte um

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Verschiebung einer Punktmenge in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann dargestellt werden durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von nach , der Pfeil von nach und der Pfeil von nach dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor . Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt als Pfeilklassen definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

miniatur|Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt auf den Punkt abbildet, wird als geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt zum Punkt zeigt. Man sagt: „Der Vektor bildet auf ab.“ oder „Der Vektor verbindet und .“ Der Punkt wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet. Der Abstand der beiden Punkte wird Länge oder Betrag des Vektors genannt.

Der umgekehrte Vektor , der mit verbindet, heißt Gegenvektor zu ; er wird auch als geschrieben. Der Vektor , der einen Punkt auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit bezeichnet. Als einziger Vektor kann er nicht durch einen Pfeil repräsentiert werden.

Orts- und Richtungsvektoren

Vektoren können auch dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann der Ort des Punktes durch den Vektor

dargestellt werden, der vom Koordinatenursprung zum Punkt zeigt. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt gehörenden Ortsvektor.

Um sie davon zu unterscheiden, werden Vektoren, wie sie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben wurden, auch als Richtungsvektoren bezeichnet. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben. Sie können jedoch – wie gezeigt – jeden Punkt des Raums als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen.

Diese Unterscheidung ist unter anderem in der analytischen Geometrie wichtig. Dort wird beispielsweise eine Gerade durch die Parametergleichung

beschrieben. Dabei ist der Stützvektor der Ortsvektor eines willkürlich gewählten „Stützpunktes“ der Geraden und der Richtungsvektor gibt die Richtung der Geraden an. Der Parameter durchläuft alle reellen Zahlen. Setzt man für einen konkreten Wert ein, so liefert die Parametergleichung den Ortsvektor des zugehörigen Punktes auf der Geraden.

Darstellung in Koordinaten mini|Ein Vektor dargestellt in zwei verschiedenen Basen (lila und rote Pfeile) Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese Koordinaten untereinander als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in -Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in -Richtung) beschreibt, schreibt man . Der Vektor beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in -Richtung und −5 Einheiten in -Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor eine Verschiebung um 3 Einheiten in -Richtung, 2 Einheiten in negativer -Richtung und 4 Einheiten in -Richtung.

Die Komponenten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben und die Koordinaten und . Die Komponenten des Verbindungsvektors berechnen sich dann wie folgt:

Die Darstellung eines Vektors durch Tupel von Zahlen bzw. Koordinaten ist nicht eindeutig. So kann der gleiche Vektor durch Basiswechsel in einer anderen Basis gleichwertig durch ein anderes Tupel beschrieben werden.

Betrag, Richtung und Orientierung Im Gegensatz zu Skalaren haben Vektoren einen Betrag (Länge) sowie im Allgemeinen eine Richtung und eine Orientierung; einzige Ausnahme hiervon ist der Nullvektor, der keine Richtung und Orientierung hat. Die Richtung ist durch die Achsenlage, die Orientierung durch den Richtungssinn gegeben. Der Richtungssinn gibt dabei an, in welche der beiden Richtungen entlang der Achse der Vektor zeigt. Ein Vorzeichenwechsel in der Größe des Vektors entspricht dabei der Umkehrung des Richtungssinns.

Rechenoperationen Addition und Subtraktion miniatur|Vektoraddition per Pfeil-Aneinanderreihung miniatur|Vektoraddition per Parallelogramm-Konstruktion

Die Addition von zwei geometrischen Vektoren entspricht der Hintereinanderausführung der zugehörigen Verschiebungen. Stellt der Vektor die Verschiebung dar, die den Punkt auf abbildet, und bildet die zu gehörige Verschiebung den Punkt auf ab, so beschreibt die Summe die Verschiebung, die auf abbildet:

Geometrisch kann man deshalb zwei Vektoren und addieren, indem man die beiden Vektoren so durch Pfeile darstellt, dass der Startpunkt des zweiten mit dem Endpunkt des ersten Pfeils übereinstimmt. Die Summe wird dann durch den Pfeil vom Startpunkt des ersten bis zum Endpunkt des zweiten Pfeils dargestellt.

Alternativ stellt man die beiden Vektoren durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und ergänzt diese Figur zu einem Parallelogramm. Der diagonale Pfeil vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke stellt dann die Summe der beiden Vektoren dar. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise: Für die Summe der beiden Vektoren

und

gilt

.

Für die Addition von Vektoren gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

miniatur|Vektorsubtraktion per Pfeil-Aneinanderreihung mit Gegenvektor miniatur|Vektorsubtraktion per Konstruktion mit Pfeilen mit demselben Anfangspunkt Für die Differenz zweier Vektoren und gilt

.

Sie lässt sich auf zwei Arten geometrisch deuten: Als die Summe von mit dem Gegenvektor von . Man setzt den Startpunkt eines Pfeils, der den Gegenvektor von darstellt, an den Endpunkt des Pfeils, der darstellt. Als denjenigen Vektor, der zu addiert gerade ergibt. Stellt man und durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar, so wird durch den Pfeil dargestellt, der vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors führt.

Werden zwei Vektoren addiert (subtrahiert), so addieren (subtrahieren) sich ihre Beträge nur dann, wenn die Vektoren kollinear sind und die gleiche Orientierung haben. Im allgemeinen Fall gilt hingegen die Dreiecksungleichung

.

Multiplikation mit einem Skalar miniatur|Skalarmultiplikation

Vektoren können mit reellen Zahlen (oft Skalare genannt, um sie von Vektoren zu unterscheiden) multipliziert werden (Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation genannt):

Statt schreibt man oft kurz . Die Länge des resultierenden Vektors ist . Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, ist er negativ, in die Gegenrichtung.

Für die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation gelten die gemischten Distributivgesetze

und Für die Skalarmultiplikation gilt zudem das gemischte Assoziativgesetz

.

Skalarprodukt

mini|Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) zweier Vektoren und – so genannt, weil das Ergebnis ein Skalar ist – wird als oder notiert und ist definiert als

wobei der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Stehen die zwei Vektoren rechtwinklig aufeinander, so ist , da gilt.

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zu .