(27,13,6)-Blockplan

Der (27,13,6)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 27 × 27 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 13 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 6 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 27, k = 13, λ = 6), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt. Bezeichnung Dieser symmetrische 2-(27,13,6)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 7 genannt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 27, k = 13, λ = 6 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 27 Blöcken und 27 Punkten. Jeder Block enthält genau 13 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 6 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 13 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 6 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existieren genau 208310 nichtisomorphe 2-(27,13,6) - BlockpläneRudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Sechs dieser Lösungen sind: Lösung 1 mit der Signatur 12·1, 5·2, 1·3, 1·7, 1·8, 3·26, 1·28, 1·31, 2·35. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3. Lösung 2 mit der Signatur 13·1, 3·2, 1·6, 1·7, 1·21, 1·24, 1·25, 2·26, 1·28, 1·31, 1·33, 1·35. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3. Lösung 3 mit der Signatur 9·1, 10·2, 1·5, 1·8, 1·10, 1·20, 1·22, 1·26, 1·28, 1·32. Sie enthält 2 Ovale der Ordnung 3. Lösung 4 mit der Signatur 10·1, 7·2, 1·4, 1·7, 1·9, 1·25, 2·27, 1·28, 1·29, 1·31, 1·39. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3. Lösung 5 (dual zur Lösung 6) mit der Signatur 10·1, 3·2, 1·4, 1·28, 1·29, 2·31, 2·32, 2·33, 1·34, 1·35, 1·36, 1·38, 1·39. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3. Lösung 6 (dual zur Lösung 5) mit der Signatur 9·1, 6·2, 1·3, 1·23, 1·28, 1·30, 1·31, 1·32, 2·33, 1·35, 1·37, 2·41 Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 17 19 23 24 25 2 4 6 8 10 12 14 17 20 21 24 26 27 2 4 6 9 11 13 16 17 19 21 22 25 26 2 4 7 8 11 12 15 18 19 20 21 22 23 2 5 6 9 10 13 15 18 20 22 23 24 26 2 5 7 8 10 13 14 16 19 20 22 25 27 2 5 7 9 11 12 14 16 17 18 23 26 27 3 4 6 8 11 13 14 16 18 22 23 24 27 3 4 7 9 10 12 16 17 18 20 22 24 25 3 4 7 9 10 13 14 15 18 19 21 26 27 3 5 6 8 10 12 16 18 19 21 23 25 26 3 5 6 9 11 12 14 15 20 21 22 25 27 3 5 7 8 11 13 15 16 17 20 21 24 26 4 5 6 7 8 9 15 17 19 23 24 25 27 Lösung 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 17 19 23 24 25 2 4 6 8 10 12 14 18 19 21 23 26 27 2 4 6 9 11 13 16 17 19 21 22 25 26 2 4 7 8 11 12 16 17 18 20 22 23 24 2 5 6 9 10 13 15 18 20 22 23 24 26 2 5 7 8 10 13 14 16 19 20 22 25 27 2 5 7 9 11 12 14 15 17 20 21 26 27 3 4 6 8 11 13 14 15 20 21 22 24 27 3 4 7 9 10 12 15 18 19 20 21 22 25 3 4 7 9 10 13 14 16 17 18 24 26 27 3 5 6 8 10 12 16 17 20 21 24 25 26 3 5 6 9 11 12 14 16 18 22 23 25 27 3 5 7 8 11 13 15 16 18 19 21 23 26 4 5 6 7 8 9 15 17 19 23 24 25 27 Lösung 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 17 19 23 24 25 2 4 6 8 10 12 14 18 20 22 23 24 27 2 4 6 9 11 13 15 18 19 21 22 23 26 2 4 7 8 11 12 16 17 19 20 21 22 25 2 5 6 9 10 13 16 17 20 22 24 25 26 2 5 7 8 10 13 14 15 19 20 21 26 27 2 5 7 9 11 12 14 16 17 18 23 26 27 3 4 6 8 11 13 14 16 17 21 24 26 27 3 4 7 9 10 12 15 17 18 20 21 24 26 3 4 7 9 10 13 14 16 18 19 22 25 27 3 5 6 8 10 12 16 18 19 21 23 25 26 3 5 6 9 11 12 14 15 20 21 22 25 27 3 5 7 8 11 13 15 16 18 20 22 23 24 4 5 6 7 8 9 15 17 19 23 24 25 27 Lösung 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 7 12 13 17 19 20 22 23 26 27 1 4 5 10 11 12 15 16 19 22 24 26 27 1 4 5 10 11 13 17 18 20 21 23 25 27 1 4 8 9 12 13 14 15 16 20 23 25 26 1 5 8 9 12 13 14 17 18 19 21 22 24 1 6 7 8 10 11 14 15 17 18 22 25 26 1 6 7 9 10 11 14 16 19 20 21 23 24 2 3 10 11 12 13 14 15 18 19 21 23 26 2 4 6 8 10 12 14 17 19 23 24 25 27 2 4 6 9 11 13 16 17 18 22 23 24 26 2 4 7 9 11 12 15 17 19 20 21 22 25 2 5 6 8 10 13 16 19 20 21 22 25 26 2 5 7 8 11 12 14 16 18 20 22 23 27 2 5 7 9 10 13 14 15 17 20 24 26 27 3 4 6 8 11 13 14 15 20 21 22 24 27 3 4 7 8 10 12 16 17 18 20 21 24 26 3 4 7 9 10 13 14 16 18 19 22 25 27 3 5 6 9 10 12 15 18 20 22 23 24 25 3 5 6 9 11 12 14 16 17 21 25 26 27 3 5 7 8 11 13 15 16 17 19 23 24 25 4 5 6 7 8 9 15 18 19 21 23 26 27 Lösung 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 8 9 11 18 19 20 24 25 26 27 1 2 6 7 12 13 15 16 18 21 24 25 27 1 3 6 10 12 13 14 17 19 22 24 26 27 1 4 6 8 10 12 15 18 20 22 23 25 26 1 4 7 9 10 13 16 17 19 20 21 25 26 1 4 7 9 11 13 14 15 18 19 22 23 27 1 5 6 8 11 13 16 19 20 21 22 23 24 1 5 7 8 11 12 14 15 17 20 21 26 27 1 5 9 10 11 12 14 16 17 18 23 24 25 2 3 7 11 12 13 16 17 18 20 22 23 26 2 4 5 10 11 13 15 17 20 22 24 25 27 2 4 6 9 11 12 15 17 19 21 23 24 26 2 4 7 8 10 12 14 16 19 20 23 24 27 2 5 6 9 10 13 14 18 20 21 23 26 27 2 5 8 9 12 13 14 15 16 19 22 25 26 2 6 7 8 10 11 14 17 18 19 21 22 25 3 4 5 8 12 13 17 18 19 21 23 25 27 3 4 6 9 11 12 14 16 20 21 22 25 27 3 4 8 10 11 13 14 15 16 18 21 24 26 3 5 6 7 10 11 15 16 19 23 25 26 27 3 5 7 9 10 12 15 18 19 20 21 22 24 3 6 7 8 9 13 14 15 17 20 23 24 25 4 5 6 7 8 9 16 17 18 22 24 26 27 Lösung 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 14 15 16 17 18 19 20 1 2 3 4 5 7 14 21 22 23 24 25 26 1 2 3 8 9 10 15 16 17 21 22 23 27 1 2 3 11 12 13 15 18 19 21 24 25 27 1 2 6 7 8 11 16 18 20 22 24 26 27 1 3 6 9 10 12 14 17 20 24 25 26 27 1 4 5 8 11 12 17 19 20 21 23 26 27 1 4 5 9 10 13 16 18 19 22 25 26 27 1 4 7 8 9 13 15 17 18 20 23 24 25 1 5 10 11 12 13 14 15 16 20 22 23 24 1 6 7 8 12 13 14 16 17 19 21 22 25 1 6 7 9 10 11 14 15 18 19 21 23 26 2 3 7 10 12 13 17 18 19 20 22 23 26 2 4 6 8 10 12 15 16 19 23 24 25 26 2 4 6 9 11 13 14 17 19 22 23 24 27 2 4 7 9 12 13 14 15 16 20 21 26 27 2 5 6 8 10 13 14 18 20 21 23 25 27 2 5 7 9 10 11 16 17 19 20 21 24 25 2 5 8 9 11 12 14 15 17 18 22 25 26 3 4 6 9 11 12 16 18 20 21 22 23 25 3 4 7 8 10 11 14 15 19 20 22 25 27 3 4 8 10 11 13 14 16 17 18 21 24 26 3 5 6 7 11 13 15 16 17 23 25 26 27 3 5 6 8 9 13 15 19 20 21 22 24 26 3 5 7 8 9 12 14 16 18 19 23 24 27 4 5 6 7 10 12 15 17 18 21 22 24 27

Inzidenzmatrix Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . . O . . . . O O O . O O . . O O . O O . . . O . . O O . O . . . . O O . O O O . . O . O . . O O O . O O . . . . O O . . . . . . O O O O O O . O . O . . . O O O . . . O . O . O . O . O . O . O . . O . . O O . . O . O O . O . O . O . . O . O . O . . O O . O . O O . . O O . . O . O . . O O . . O O . . O . . O O O O O O . . . . . O . . O O . . O O . . O . O . . O . O . O O O . O . . O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O . O . . O . O . O . O O . O . O O O . . . . O . . O O . . O O . O . O . . O . O O . O . O . . . O O O . . O . . O O . . O . O O . O . . . O O O . O . O . O O . . . . O O . . O . O O . . O O O . . O O . O . . . . O O . . O . O O . O . O . O . . . O . O O . O . O . O O . . . O . O O . . O . O O . O O . . . . O O O . . O . O . . O . O . O O . . O . O . O O O . . O O . . O . O . . . . O O O O O O . . . . . O . O . O . . . O O O . O Lösung 2 O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . . O . . . . O O O . O O . . O O . O O . . . O . . O O . O . . . . O O . O O O . . O . O . . O O O . O O . . . . O O . . . . . . O O O O O O . O . O . . . O O O . . . O . O . O . O . O . O . O . . . O O . O . O . . O O . O . O . O . . O . O . O . . O O . O . O O . . O O . . O . O . . O O . . O O . . . O O O . O . O O O . . . . O . . O O . . O O . . O . O . . O . O . O O O . O . . O . . O . O O . O . . O O . O . . O O . O . . O . O . O . . O . O . O . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . O O . O . O . . O . O O O . . . . O O O . O . . O . . O O . . O . O O . O . . O . . O O O O O . . O . . . . O O . . O . O O . . O O . O O O . . . . . O . O O . . O . O O . O . O . O . . . O O . . O O . . O O O . . . O . O O . . O . O O . O . O . O . . . O O . O . O . . O . O . O O . . O . O . O O . O O . O . O . . O . . . . O O O O O O . . . . . O . O . O . . . O O O . O Lösung 3 O O O O O O O O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . O O O O O O . . . . . . . O O O O O O O . . . . . . . O O O O O . O . . . . . . O . . . . . . O O O O O O . O O O . . . . O O O . . . . O O O . . . O O O . . . O O O O . . . . O O . O . . . . . . O O O . . . O O O O O O . . . O O . . . . O O . O O . O . . O . . O O . O O . O . . O O . . . . O O . . . O . O O . O O . . O O O . . O O . . . . O O O . . O O . . O . . O . O . O O O . . O O . . . . O O . O . . . O O . O O . O . O . O O . . O . . . O O . . O O O O O . . . O . . O . O O . O . . . O . . O O . . O O O . . O O O . O O . O . . .