Riemann-Siegelsche Theta-Funktion

mini|hochkant=0.7|Georg Friedrich Bernhard Riemann (1863) mini|hochkant=0.9|Carl Ludwig Siegel (1975)

Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion ist eine spezielle Funktion aus der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie dient vor allem der Untersuchung von Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion und damit als Werkzeug im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung, einem bis heute ungelösten Problem der Mathematik, dessen Lösung Aussagen über die Verteilung der Primzahlen erlauben würde. So lässt sich mit Hilfe der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion die Anzahl sogenannter nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion bis zu einem vorgegebenen Imaginärteil angeben. Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion erscheint auch in der Definition von Gram-Punkten – bestimmten reellen Zahlen, deren Lage die Position jener Nullstellen häufig, aber nicht immer, eingrenzt.

Die Theta-Funktion ist nach den beiden deutschen Mathematikern Bernhard Riemann und Carl Ludwig Siegel benannt. Riemann, der 1866 im Alter von 39 Jahren starb, hinterließ zahlreiche private Arbeitsblätter und mathematische Notizen. Der 1896 geborene Siegel nahm sich dieser Unterlagen an und veröffentlichte 1932 eine Arbeit über Riemanns Nachlass zur analytischen Zahlentheorie. Dort behandelte er die heute so bezeichnete Riemann-Siegelsche Formel und damit auch die Theta-Funktion.Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, Mineola 2001, ISBN 0-486-41740-9, Abschnitt 7.1, S. 136 und 137. (englisch).

Die in diesem Artikel dargestellte Riemann-Siegelsche Theta-Funktion ist zu unterscheiden von anderen mathematischen Funktionen, die ebenfalls den Namen „Theta-Funktion“ tragen, wie etwa der Jacobischen oder der Ramanujanschen Theta-Funktion.

Definition

mini|hochkant=1.2|Riemann-Siegelsche Theta-Funktion mit reellem Argument

Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion wird für reelles definiert durchAndrew Odlyzko: On the Distribution of Spacings Between Zeros of the Zeta Function. In: Mathematics of Computations. Band 48, Nr. 117, 1987, S. 276 (englisch).Peter Borwein et al.: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5, Abschnitt 3.3, S. 32 (englisch).Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy’s Z-Function. Cambridge University Press, New York 2013, ISBN 978-1-107-02883-8, Abschnitt „Notation“, S. xvi. (englisch).

.

Dabei bezeichnet die Kreiszahl, die imaginäre Einheit, die Logarithmusfunktion, die Gammafunktion und eine Argumentfunktion, die durch folgende Bedingungen eindeutig festgelegt ist: Die Werte der Argumentfunktion sind so zu bestimmen, dass gilt und eine stetige Funktion wird.Die Gammafunktion besitzt Polstellen an allen nicht-positiven, ganzen Zahlen, also in 0, −1, −2, −3 usw. In der Definition der Theta-Funktion mit reellem stellt dies allerdings kein Problem dar, da dann der Ausdruck diese Werte nicht annimmt. Vielmehr handelt es sich bei , , um diejenige senkrechte Gerade in der komplexen Ebene, die durch den Punkt verläuft.Abseits ihrer Polstellen liefert die Gammafunktion komplexe, auch nicht-reelle, Zahlen als Funktionswerte. Argumente komplexer Zahlen ungleich 0 sind stets reell. Da der Ausdruck für reelles ohnehin reell ist, handelt es sich bei der Theta-Funktion mit reellem Argument um eine reellwertige Funktion.Argumente komplexer Zahlen ungleich 0 sind nur bis auf ganzzahlige Vielfache von eindeutig. Für ist und eine reelle Zahl. Deshalb bedeutet die Bedingung , dass in für das Argument von der Wert 0 zu wählen ist, und eben nicht oder oder irgendein anderes ganzzahliges, von 0 verschiedenes Vielfaches von .Die Stetigkeitsbedingung ist für die Teilfunktion erfüllt, da es sich hierbei um eine Gerade handelt. Die Gammafunktion ist abseits ihrer Polstellen holomorph, also insbesondere stetig. Damit ist sie auch entlang der Geraden stetig. Ausgehend von der Festlegung , also , lassen sich daher die Werte der Argumentfunktion stets so wählen, dass die Funktion und somit stetig werden, und jene Werte sind durch diese Stetigkeitsbedingung eindeutig bestimmt.

Diese Definition lässt sich auch in der Form

schreiben, wenn man für den Hauptzweig des Logarithmus wählt und den Imaginärteil einer komplexen Zahl bezeichnet.Logarithmen von komplexen Zahlen ungleich 0 sind nur bis auf ganzzahlige Vielfache von eindeutig. Die Festlegung auf den Hauptzweig des Logarithmus führt dazu, dass stetig ist und für gilt: . Hätte man nicht den Hauptzweig des Logarithmus gewählt, sondern einen anderen Zweig, so wäre im letzten Schritt dieser Gleichung mit einem ganzzahligen ungleich 0. Dann wäre aber und somit auch .

Diese letzte Form der Definition eignet sich auch, um die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion für komplexe Argumente zu definieren:functions.wolfram.com: RiemannSiegelTheta. Definition der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion (englisch).

wobei für der Hauptzweig des Logarithmus zu wählen ist.

Eigenschaften der Theta-Funktion mit reellem Argument

Kurvendiskussion

mini|hochkant=1.2|Riemann-Siegelsche Theta-Funktion mit reellem Argument (blau) und ihre Ableitung (rot)

Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion mit reellem Argument ist eine reell-analytische Funktion. Insbesondere ist sie stetig und beliebig oft differenzierbar. Wie z. B. die Sinusfunktion gehört sie zu den ungeraden Funktionen. Es gilt also für alle . Neben der 0 besitzt sie noch die beiden NullstellenOn-Line Encyclopedia of Integer Sequences: Sequence A114857. Dezimalentwicklung des 0-ten Gram-Punktes, also der größten reellen Nullstelle der Theta-Funktion (englisch).

Die Theta-Funktion mit reellem Argument nimmt inOn-Line Encyclopedia of Integer Sequences: Sequence A114866. Dezimalentwicklung der Position des eindeutigen, lokalen Minimums der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion (englisch).

ein lokales Minimum bzw. Maximum an. Die dortigen Funktionswerte betragenOn-Line Encyclopedia of Integer Sequences: Sequence A114865. Dezimalentwicklung des Wertes des eindeutigen, lokalen Maximums der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion (englisch).

Für positive, größer werdende geht gegen ; für negative, kleiner werdende gegen .

Asymptotische Entwicklung

mini|hochkant=1.2|Riemann-Siegelsche Theta-Funktion mit reellem Argument (blau) und ihre nach dem Glied 1/(48t) abgeschnittene, asymptotische Entwicklung (gestrichelt): Schon für Argumente t mäßiger Größe liefert diese abgeschnittene Entwicklung gute Näherungen des tatsächlichen Funktionswertes der Theta-Funktion.

Die Riemann-Siegelsche Theta-Funktion mit reellem Argument besitzt eine asymptotische Entwicklung, deren führende Glieder die folgende Gestalt haben:Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, Mineola 2001, ISBN 0-486-41740-9, Abschnitt 6.5, S. 120 (englisch).On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: Sequence A036282. Zähler der asymptotischen Entwicklung der Theta-Funktion (englisch).On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: Sequence A114721. Nenner der asymptotischen Entwicklung der Theta-Funktion (englisch).

Bei der HerleitungHarold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, Mineola 2001, ISBN 0-486-41740-9, Abschnitt 6.5, S. 119 und 120 (englisch). dieser Entwicklung ersetzt man in der Definition von die Funktion durch deren Stirlingsche ReiheHarold Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover, Mineola 2001, ISBN 0-486-41740-9, Abschnitt 6.3, S. 109 (englisch). und nutzt eine Identität zwischen dem komplexen Logarithmus und dem Arcustangens sowie dessen Reihendarstellung. Für größere Werte von liefert bereits die nach dem Glied abgeschnittene asymptotische Entwicklung gute Näherungen der tatsächlichen Werte von . Es gilt also

.

Bei Bedarf kann die Qualität dieser Annäherung mit Hilfe weiterer Glieder der asymptotischen Entwicklung noch gesteigert werden.

Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta-Funktion

mini|hochkant=1.2|Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Zahlenebene. Die im Bild dargestellten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Gerade durch 1/2 und sind dort als schwarze Punkte erkennbar. Der weiße Punkt in 1 kennzeichnet die Polstelle der Zeta-Funktion.

Die Riemannsche Zeta-Funktion gehört zu den wichtigsten Funktionen der analytischen Zahlentheorie. Ihre überragende Bedeutung verdankt sie dem Zusammenhang zwischen der Lage ihrer komplexen Nullstellen und der Verteilung der Primzahlen. Ihre sogenannten trivialen Nullstellen sind die negativen geraden Zahlen, also −2, −4, −6, −8 usw. Daneben besitzt sie auch unendlich viele sogenannte nicht-triviale Nullstellen, von denen bekannt ist, dass ihre Realteile zwischen 0 und 1 liegen.Anatoly A. Karatsuba, Sergei M. Voronin: The Riemann Zeta-Function. Walter de Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013170-6, Kapitel I, Paragraph 6, Abschnitt 1, Theorem 1, S. 22 (englisch). Bernhard Riemann hat in seiner berühmten Arbeit von 1859 die Vermutung geäußert, alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion besäßen den Realteil 1/2. Diese These, die bis heute weder bewiesen noch widerlegt ist, wird als Riemannsche Vermutung bezeichnet.

Mit Blick auf die Riemannsche Vermutung versucht man zunächst, Aussagen über Nullstellen der Zeta-Funktion mit Realteil 1/2 zu gewinnen. Dabei stellt es sich als vorteilhaft heraus, nicht direkt mit der Riemannschen Zeta-Funktion zu arbeiten, sondern mit einem nahen Verwandten: der Riemannschen Xi-Funktion . Diese ist für komplexes definiert durchPeter Borwein et al.: The Riemann Hypothesis. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-72125-5, Abschnitt 3.3, S. 31 (englisch).

mini|hochkant=1.2|Riemannsche Xi-Funktion in der komplexen Zahlenebene

Auf der rechten Seite eliminieren die Faktoren vor der Zeta-Funktion genau die trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion sowie deren Polstelle in 1. Somit sind die Nullstellen der Xi-Funktion identisch mit den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion. Im Vergleich zur Riemannschen Zeta-Funktion besitzt die Xi-Funktion nun aber den Vorteil, auf der sogenannten kritischen Geraden , , nur reelle Werte anzunehmen. Deshalb kann man einfache Nullstellen der Xi-Funktion mit Realteil 1/2 und somit nicht-triviale Nullstellen der Zeta-Funktion mit Realteil 1/2 finden, indem man auf Vorzeichenwechsel entlang der kritischen Geraden untersucht. Dazu setzt man in ein. Durch einfache Umformungen wird man dann nicht nur auf die Definition der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion, sondern auch auf die Definition der Riemann-Siegelschen Z-Funktion geführt:

Dabei bezeichnet den Realteil einer komplexen Zahl. Was nun die Frage nach den Vorzeichenwechseln von entlang der kritischen Geraden angeht, so ergibt der Ausdruck innerhalb des ersten Paars eckiger Klammern für jedes reelle stets einen negativen reellen Wert. Weitere Details dieses Ausdrucks müssen im Zusammenhang mit den gesuchten Vorzeichenwechseln nicht untersucht werden. Die Funktion innerhalb des zweiten Paars eckiger Klammern ist genau die Riemann-Siegelsche Z-Funktion, die nach dem britischen Mathematiker Godfrey Hardy auch als Hardys Z-Funktion bezeichnet wird:

mini|hochkant=1.2|Riemann-Siegelsche Z-Funktion (rot) und der Absolutbetrag der Riemannschen Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden (gestrichelt): Über und auf der horizontalen t-Achse stimmt die rote Kurve der Z-Funktion überein mit der gestrichelten Kurve des Absolutbetrags der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden. Die Nullstellen der gestrichelten Kurve sind ihre von oben kommenden „Spitzen“, die genau auf der t-Achse liegen. Diese Nullstellen des Absolutbetrags der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden sind identisch mit den Nullstellen der Z-Funktion. Damit stimmen auch die Nullstellen der Zeta-Funktion mit Realteil 1/2 mit den Nullstellen der Z-Funktion überein.

Zur weiteren Vereinfachung drängen nun die beiden Faktoren vor zur Definition einer weiteren Funktion, nämlich gerade der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion

denn mit ihrer Hilfe gilt dann

Zusammenfassend ergibt sich nun: