In der algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Chow-Gruppen eine wichtige Invariante von Varietäten.
Definition
Sei eine glatte, irreduzible, projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
Die Gruppe der algebraischen Zykel der Kodimension i
ist definiert als die freie abelsche Gruppe erzeugt von den irreduziblen (nicht notwendig glatten) Untervarietäten der Kodimension . Ein Element ist also eine endliche Summe
mit und irreduzible Untervarietät der Kodimension .
Zwei Untervarietäten
heißen rational äquivalent, wenn es eine Untervarietät , welche flach über ist, sowie mit
gibt. Rationale Äquivalenz definiert eine Äquivalenzrelation auf der Zykelgruppe .
Die Chow-Gruppe ist definiert als Quotient der Zykel-Gruppe modulo rationaler Äquivalenz: .
Chow-Ring
Das Schnittprodukt von Untervarietäten (anschaulich: modulo rationaler Äquivalenz bringt man Untervarietäten in allgemeine Lage und nimmt dann ihren Durchschnitt) definiert eine Abbildung
für alle . Der Chow-Ring ist die direkte Summe der Chow-Gruppen
mit der durch das Schnittprodukt definierten Multiplikation.
Mittels des Schnittprodukts definiert man das globale Schnittprodukt durch
für die diagonale Einbettung .
Beispiele
Für jede glatte, irreduzible Varietät ist . ist die Picardgruppe . Für den -dimensionalen affinen Raum gilt für , . Für den -dimensionalen projektiven Raum gilt für für
Beziehung zur algebraischen K-Theorie Sei der Funktionenkörper der Varietät und die Milnorsche K-Theorie dieses Körpers. Dann ist
wobei die Menge aller Punkte von der Dimension ist.
Literatur
Wei-Liang Chow: On Equivalence Classes of Cycles in an Algebraic Variety, Annals of Mathematics, Band 64, 1956, S. 450–479, William Fulton: Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics 2, Berlin, New York: Springer-Verlag 1998, ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
Kategorie:Algebraische Geometrie