Eine Sierpiński-Zahl ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält. Sie ist nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński benannt.

Beispiele ist eine Sierpiński-Zahl.

Die folgenden Zahlen sind bekannte Sierpiński-Zahlen : 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, … () Ist eine dieser Zahlen, so ist für alle zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.

Gegenbeispiel Die Zahl ist keine Sierpiński-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 39, 77, 153, 305, 609, 1217, 2433, … Das sechste Glied der Folge, 1217, ist eine Primzahl. Das genügt zum Nachweis, dass 19 keine Sierpiński-Zahl ist. Ob noch weitere Primzahlen in dieser Folge auftreten oder nicht (das zehnte Glied 19457 ist prim), ist unerheblich.

Primzahlen der Form nennt man Prothsche Primzahl.

Sierpiński-Problem Das Sierpiński-Problem lautet: Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl? 1962 hat John L. Selfridge gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Das Internet-Projekt Seventeen or Bust beschäftigt sich mit diesem Problem.

Um den Beweis durchzuführen, muss für jedes kleiner als 78557 eine Zahl gefunden werden, so dass die resultierende Proth-Zahl eine Primzahl ist. Dieser Beweis ist (Stand 8. Juli 2019) bereits für alle bis auf 5 Ausnahmen erfolgt, diese sind (Primzahlen werden fett geschrieben): 21181, 22699, 24737, 55459 und 67607 Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl.

Das prime Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist. Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 9 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen der folgenden Liste schon in obigem Problem auftauchen; die übrigen drei Zahlen der vorhergehenden Liste sind keine Primzahlen: , und ) (Stand: 31. Dezember 2019): k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019

Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist. Um dies zu überprüfen, müssen neben den 9 oben genannten Primzahlen (vom primen Sierpiński-Problem) noch zusätzlich die folgenden 11 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei zusammengesetzten Zahlen schon im ursprünglichen Sierpiński-Problem auftauchen) (Stand: 7. März 2022): k = 21181, 24737, 55459, 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411

Riesel-Zahl Eine Riesel-Zahl (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Hans Riesel) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.

Beispiele ist eine Riesel-Zahl.

1956 bewies Hans Riesel, dass es unendlich viele ganze Zahlen gibt, so dass nicht prim, also zusammengesetzt ist für alle positiven ganzen Zahlen .

Die folgenden Zahlen sind bekannte Riesel-Zahlen : 509203, 762701, 777149, 790841, 992077, … () Ist eine der oberen Zahlen, so ist für alle zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.

Gegenbeispiel Die Zahl ist keine Riesel-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 45, 91, 183, 367.

Die kleinste Riesel-Zahl Riesel selbst fand 1956 mit 509.203 eine Riesel-Zahl. Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 509.203 die kleinste Riesel-Zahl ist (dieses Problem nennt man Riesel-Problem). Um dies zu beweisen, muss man noch die folgenden 41 Zahlen kontrollieren, ob sie Riesel-Zahlen sind oder nicht: 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557 und 494743

Es würde ausreichen, wenn man zu jeder der obigen Zahlen wenigstens ein einziges finden würde, sodass eine Primzahl ist. Dann würde diese Zahl k als Kandidat für die kleinste Riesel-Zahl ausscheiden.

Brier-Zahl Durch Eric Brier wurde nach positiven ganzen Zahlen k gesucht, die gleichzeitig Sierpiński- und Riesel-Zahl sind, d. h. und sind für alle n stets zusammengesetzt. Derartige Zahlen heißen Brier-Zahlen.

Die erste 1998 gefundene Brier-Zahl ist die 41-stellige k = 29364695660123543278115025405114452910889 Yves Gallot ermittelte 2000 eine 27-stellige Brier-Zahl k = 878503122374924101526292469 2007 fanden Michael Filaseta, Carrie Finch und Mark Kozek die damals kleinste bekannte 24-stellige Brier-Zahl k = 143665583045350793098657 Mittlerweile kennt man noch kleinere, aber immer noch mindestens 22-stellige Brier-Zahlen: 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, … ()

Duales Sierpiński-Problem Bisher musste das bei immer eine positive ganze Zahl sein, also . Was passiert aber, wenn man die Hochzahl negativ werden lässt? Sei also mit . Dann erhält man . Nimmt man nur den Zähler dieser Bruchzahl, so erhält man die Zahl .

Eine duale Sierpiński-Zahl ist eine ungerade natürliche Zahl , für die für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt sind (man erhält also niemals eine Primzahl). Es gibt bzw. gab zwei Vermutungen, diese dualen Sierpiński-Zahlen betreffend: Vermutung 1: Die Menge dieser dualen Sierpiński-Zahlen ist ident zur Menge der Sierpiński-Zahlen. Dies zu beweisen ist das duale Sierpiński-Problem. Vermutung 2: Die Zahl ist die kleinste duale Sierpiński-Zahl. Diese zweite Vermutung konnte schon bewiesen werden. Das bedeutet, dass für alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt ist. Gleichzeitig dürfte aber auch die kleinste Sierpiński-Zahl sein (siehe Sierpiński-Problem).

Es gibt also kein , welches kleiner als ist, für welches niemals eine Primzahl ergibt. Dieser Beweis gelang wie schon beim noch laufenden Internet-Projekt Seventeen or Bust durch die Brute-Force-Methode, indem man für jedes so lange ein geeignetes sucht, bis man eines gefunden hat, für welches eine Primzahl ergibt. Dieses Internet-Projekt mit dem Namen Five or Bust hat somit seinen Zweck erfüllt und aus einer Vermutung eine Gewissheit gemacht (der Name kommt von fünf verschiedenen , die damals noch zu keiner bekannten Primzahl geführt haben). Jedenfalls brachte auch dieser Beweis einige sehr große Primzahlen zu Tage. Die fünf , von denen man vor dem Projekt keine Primzahlen gekannt hat, lauteten: k=2131, 28433, 40291, 41693 und 75353

Es wurde mittlerweile zu jedem dieser eine passende Zahl gefunden, sodass höchstwahrscheinlich eine Primzahl ist. Genau genommen handelt es sich bei den so gefundenen Zahlen der Form nur um PRP-Zahlen (sogenannte probable primes), also Zahlen, die höchstwahrscheinlich, aber eben nicht hundertprozentig, Primzahlen sind. Dies hängt damit zusammen, dass man für Zahlen der Form noch keine geeigneten Algorithmen kennt, die explizit garantieren könnten, dass es sich um Primzahlen handelt. Trotzdem ist man sich sehr sicher, dass es sich um Primzahlen handelt. In der Folge wird also, um genau zu sein, nicht von Primzahlen, sondern von PRP-Zahlen die Rede sein.

Bei erhält man erst bei eine PRP-Zahl, das heißt, dass die kleinste PRP-Zahl ist, die in der Folge vorkommt. Weitere hohe PRP-Zahlen erhält man für und , nämlich bzw. (somit sind und PRP-Zahlen). Gleichzeitig erhält man aber für diese drei sehr schnell Primzahlen der Form , nämlich , und . Für das eigentliche Sierpiński-Problem machen diese drei also keinerlei Schwierigkeiten. Umgekehrt kennt man zum Beispiel für noch kein geeignetes , sodass eine Primzahl ergibt (es ist eines der fünf übrig gebliebenen Problemfälle beim Projekt Seventeen or Bust). Beim dualen Sierpiński-Problem macht dieses aber kein Problem, denn schon für erhält man die Primzahl .

In einer Tabelle zusammengefasst erkennt man die jeweils sechs größten Primzahlen beim Sierpiński-Problem und beim dualen Sierpiński-Problem bis zu :

Sierpiński-Problem duales Sierpiński-Problem k n Stellen von k·2n+1 n Stellen von 2n+k 2.131 44 17 4583176 1379674 8.543 5793 1748 1191375 358640 10.223 31172165 9383761 19 6 21.181 unbekannt, sehr groß 28 9 22.699 unbekannt, sehr groß 26 8 24.737 unbekannt, sehr groß 17 6 28.433 7830457 2357207 2249255 677094 40.291 8 8 9092392 2737083 41.693 33 15 5146295 1549190 55.459 unbekannt, sehr groß 14 5 67.607 unbekannt, sehr groß 46549 14013 75.353 1 6 1518191 457022

Die kleinsten , für die erstmals eine Primzahl ergibt (wobei ungerade ist) verrät die folgende Liste: 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 8, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 7, 2, 1, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 7, 4, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 10, 3, 3, 2, 1, 1, … ()

Wie man erkennen kann, sind die Hochzahlen , die zu einem gegebenen erstmals eine auf eine Primzahl führen, meistens sehr klein. In den meisten Fällen ist tatsächlich . Es existieren lediglich einige wenige Fälle, bei denen man zu einem gegebenen ein sehr hohes benötigt, um erstmals eine Primzahl zu finden. Die folgende Liste gibt alle 28 existierenden bis inklusive 78557 an, die ein dementsprechend hohes benötigen, damit eine Primzahl ergibt (oder, wie im Fall , keine Primzahl existiert) und für welches auch gilt. (eine umgekehrte Argumentation lautet: zu folgenden ungeraden ist die Zahl für alle immer zusammengesetzt):

773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 28433, 35461, 37967, 39079, 40291, 41693, 48527, 60443, 60451, 60947, 64133, 75353, 78557 ()

Gerades Sierpiński-Problem

Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem, bei dem eine natürliche, ungerade Zahl sein muss, ist beim geraden Sierpiński-Problem das eine natürliche gerade Zahl. Wieder stellt sich die Frage, ob es bis kein gerades gibt, welches eine Sierpiński-Zahl ist.

Im Gegensatz zum ursprünglichen Sierpiński-Problem kann man diesmal gleich von vornherein viele gerade ausschließen. Wenn man zum Beispiel wegen der Untersuchung der vom Sierpiński-Problem weiß, dass eine Primzahl ist, kann man daraus sofort folgern, dass auch eine Primzahl ist und man kann somit sofort aus der Liste der potentiellen geraden Sierpiński-Zahlen streichen. Ebenso ist und eine Primzahl und somit scheidet auch und sofort als gerader Sierpiński-Kandidat aus, ohne dass man eine besondere Rechnung angestellt haben muss.

Es gibt aber auch gerade , bei denen man mit der sonst üblichen Brute-Force-Methode arbeiten muss. Zum Beispiel stößt man bei der Lösung des ursprünglichen Sierpiński-Problems auf die Primzahl . In diesem Fall kann man aber leider keine 2 herausheben, sodass man über eine Aussage treffen könnte. Somit muss man für dieses mit roher Rechengewalt eine Primzahl finden. Hat man aber eine gefunden, in diesem Fall , so kann man wieder weitere ausschließen. In diesem Fall und .

Momentan gibt es für das gerade Sierpiński-Problem 4 Zahlen, für die man noch nicht ausschließen kann, dass sie Sierpiński-Zahlen sind: 42362, 45398, 49474, 65536

Drei dieser vier Zahlen sind eng verwandt mit den 5 Problemfällen vom ursprünglichen Sierpiński-Problem (21181, 22699, 24737, 55459 und 67607). Wenn man zum Beispiel für irgendwann einmal eine Primzahl der Form finden wird (mit einem sehr hohen ), kann man sofort daraus schließen, dass ebenfalls eine Primzahl ist und schon hätte das gerade Sierpiński-Problem nur noch 3 Problemfälle. Analog kann man aus einer noch zu findenden Primzahl der Form sofort folgern, dass auch eine Primzahl ist (nämlich die gleiche). Weiters wäre die noch unentdeckte Primzahl der Form eine Lösung, die aus der Liste der obigen 4 Zahlen nur noch einen einzigen Problemfall übrig lassen würden: .