mini|Ein lateinisches Quadrat der Ordnung 7 (Fenster im Gedenken an Ronald Aylmer Fisher am Gonville and Caius College, Cambridge)

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit Zeilen und Spalten, wobei jedes Feld mit einem von verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Als Symbole werden häufig die Zahlen von bis , oder verschiedene Buchstaben oder auch verschiedene Farben verwendet. Der Mathematiker Leonhard Euler befasste sich intensiv mit solchen Quadraten; als Symbolmenge benutzte er das lateinische Alphabet. Der Name lateinisches Quadrat geht darauf zurück.

In der modernen Kombinatorik und der diskreten Mathematik werden als Symbolmenge überwiegend die Zahlen von bis , seltener die Zahlen von bis verwendet, und das Schema wird als spezielle -Matrix betrachtet.

Jedes lateinische Quadrat kann als Verknüpfungstafel (Cayley-Tafel) einer endlichen Quasigruppe aufgefasst werden, umgekehrt bestimmt jede endliche Quasigruppe eine Äquivalenzklasse von lateinischen Quadraten.

Zwei verschiedene lateinische Quadrate derselben Ordnung können orthogonal zueinander sein. In der synthetischen Geometrie werden bestimmten Mengen von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung endliche affine Ebenen zugeordnet. Daraus ergibt sich dort eine notwendige und hinreichende kombinatorische Bedingung für die Existenz von Ebenen der Ordnung : Eine solche Ebene existiert genau dann, wenn es eine vollständige Liste paarweise orthogonaler Quadrate der Ordnung gibt.

Außerhalb der Mathematik im engeren Sinn werden lateinische Quadrate unter anderem in der agrarwissenschaftlichen Versuchsplanung als Blockanlagen und der statistischen Versuchsplanung angewendet.Hinkelmann und Kempthorne (2008)

Darstellung, Eigenschaften und Begriffe Darstellung als Matrix Ein lateinisches Quadrat der Ordnung ist eine quadratische Matrix, deren sämtliche Einträge natürliche Zahlen von bis sind, und zwar so, dass in jeder Zeile und in jeder Spalte der Matrix jede dieser Zahlen genau einmal auftritt. Diese Eigenschaft lässt sich bei einer Matrix (zum Beispiel mit einem Computeralgebrasystem wie Maple) folgendermaßen testen: Für die Einträge der Matrix müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:Durch die Summe wird für jede Zahl , die in der Zeile bzw. Spalte auftritt, das „Bit“ mit der Wertigkeit in einer n-stelligen Binärzahl gesetzt. Damit die getestete Matrix dann mit Sicherheit ein lateinisches Quadrat darstellt muss die zusätzliche Voraussetzung erfüllt sein, dass alle Einträge natürliche Zahlen sind. Dies wird durch den Test selbst nicht gewährleistet. (Knuth, 2011). Für jede Zeile muss und für jede Spalte muss gelten.

Tripeldarstellung: OAR Ein lateinisches Quadrat der Ordnung lässt sich auch als Menge von verschiedenen Tripeln darstellen. Dabei steht für die Nummer einer Zeile im lateinischen Quadrat, für die Nummer einer Spalte und für die dort im Quadrat stehende Zahl. Die Regel für lateinische Quadrate ist genau dann erfüllt, wenn keine zwei der Tripel in zwei Einträgen übereinstimmen. Diese Darstellung wird als orthogonal array representation (OAR) des lateinischen Quadrats bezeichnet.

Die OAR legt eine geometrische Interpretation für ein lateinisches Quadrat nahe: Man kann die Zahl in einer Zelle des lateinischen Quadrates als Höhe eines Quaders auffassen, der auf dieser Zelle als Grundfläche errichtet werden soll. Damit wird aus dem lateinischen Quadrat ein räumliches Säulendiagramm – vergleiche die Abbildung zu dem Beispiel unten.

In dem Bild ist auch eine verwandte Interpretation des lateinischen Quadrates der Ordnung zu erkennen: Füllt man von den Säulen des Säulendiagramms nur jeweils den Würfel an der Spitze, dann erhält man ein dreidimensionales Bild aus achsparallelen Einheitswürfeln in einem größeren achsparallelen Würfel mit der Kantenlänge . Der Teilwürfel mit den Gitterkoordinaten ist genau dann „gefüllt“, wenn zu der OAR des lateinischen Quadrates gehört. Eine Anordnung von Teilwürfeln in einem solchen Würfel der Kantenlänge gehört genau dann zu einem lateinischen Quadrat der Ordnung , wenn der große Würfel in den drei achsparallelen Richtungen betrachtet durch die Teilwürfel undurchsichtig ist, also bei der Projektion in einer Achsrichtung lückenlos gefüllt erscheint.

mini|Die Tripel der OAR-Darstellung können als Raumkoordinaten oder als Höhen von Säulen auf dem lateinischen Quadrat aufgefasst werden. Bei diesem Bild sind der Übersicht wegen nur die erste und die letzte Spalte (s=1 und s=4) des lateinischen Quadrates der Ordnung 4 (rote Zahlen auf der Grundfläche) als Säulen dargestellt. Der Würfel an der Spitze dieser Säulen ist jeweils farblich hervorgehoben. Diese Interpretation macht anschaulich, dass die OAR eines lateinischen Quadrates nicht nur bei Vertauschen der Zeilen- mit den Spaltennummern (einer Transposition in der Matrixdarstellung) zur OAR eines lateinischen Quadrates wird, sondern sogar, wenn alle Zeichennummern mit den Zeilennummern oder den Spaltennummern vertauscht werden.

Beispiel Das Beispiel in der Abbildung rechts zeigt das erste lateinische Quadrat C unten, das zweite, D, entsteht daraus, indem man die - mit der -Achse vertauscht. Wenn man im ersten Quadrat C die - mit der -Achse vertauscht, entsteht ebenfalls das Quadrat D, denn dessen Matrix ist symmetrisch.

Die Tripeldarstellungen lauten

bzw.

Anzahl der lateinischen Quadrate Die Anzahlen lateinischer Quadrate der Ordnung , bilden . Es ist keine einfach zu berechnende Formel für die Folge bekannt. Die besten bekannten unteren und oberen Schranken für große Ordnungen sind noch weit auseinander. Eine klassische Abschätzung lautet:

Die Anzahlen der strukturell unterschiedlichen lateinischen Quadrate (d. h. die Quadrate sind nicht durch Drehung, Spiegelung, oder Permutation der Symbole identisch zu machen) bis zur Ordnung 7 bilden .

Reduzierte lateinische Quadrate Ein lateinisches Quadrat heißt „reduziert“ oder auch „normalisiert“, wenn in der 1. Zeile und in der 1. Spalte die verschiedenen Symbole in ihrer „natürlichen Reihenfolge“ stehen. In der Tripeldarstellung mit Zahlen als Symbolen bedeutet das: für die erste Zeile und für die erste Spalte. Die Normalisierung eines beliebigen lateinischen Quadrates kann immer durch Vertauschungen von Zeilen und Spalten erreicht werden. Das Quadrat der Ordnung 3 in den Beispielen unten wird durch Vertauschen der 2. mit der dritten Zeile normalisiert, das Quadrat der Ordnung 4 ist bereits reduziert.

Die Anzahlen reduzierter lateinischer Quadrate der Ordnung bilden . Für die Anzahl aller lateinischen Quadrate gilt

Beispiele Lateinische Quadrate der Ordnung 3 bzw. 4 in der Matrixdarstellung:

Die Tripeldarstellung des linken Quadrates lautet: . Würde man dort in der ersten Zeile die Zahlen 1 und 2 vertauschen, so würden das Tripel (1. Zeile, 1. Spalte enthält 2) und das Tripel (3. Zeile, 1. Spalte enthält 2) an zwei Stellen (Spalte und Zeichen) übereinstimmen und das Quadrat wäre kein lateinisches Quadrat mehr.

Es lässt sich leicht ein lateinisches Quadrat für eine beliebige gegebene Ordnung angeben: Dazu verteilt man verschiedene Symbole beliebig auf die erste Zeile des Quadrats. Die folgenden Zeilen füllt man nun sukzessive aus, indem man die jeweils vorangehende Zeile um eins nach rechts verschoben übernimmt. Das äußerste rechte Symbol der vorangehenden Zeile würde dabei aus dem Quadrat hinausfallen; stattdessen trägt man es in der neuen Zeile ganz links ein.

Das Beispiel der Ordnung 3 ist auf diese Art konstruiert, beim Beispiel der Ordnung 4 wurde statt der Verschiebung nach rechts in jeder Zeile nach links zyklisch vertauscht. Startet man bei dieser Konstruktion wie im gezeigten Beispiel mit einer sortierten ersten Zeile mit den Zahlen , dann erhält man stets ein reduziertes lateinisches Quadrat, das sich als Verknüpfungstabelle der Restklassengruppe interpretieren lässt. Dazu müssen die eingetragenen Zahlen alle um 1 verringert werden.

Orthogonale lateinische Quadrate und MOLS Zwei lateinische Quadrate und heißen orthogonal (sie werden auch als Griechisch-Lateinische-Quadrate oder Euler-Quadrate bezeichnet),Diese Verwendung des Attributs „orthogonal“ hat nichts mit der im Artikel erläuterten englischen Bezeichnung „orthogonal array representation“ zu tun! wenn keine zwei von den Paaren übereinstimmen, die entstehen, wenn man die Einträge von und jeweils nebeneinander in ein neues quadratisches Schema schreibt. In Matrixdarstellung:Formal korrekter aber weniger übersichtlich müssten die Einträge der Matrix S als Zahlenpaare geschrieben werden.

Die hier zur Matrix kombinierten lateinischen Quadrate und sind orthogonal. In diesem Fall nennt man das durch repräsentierte Quadrat ein griechisch-lateinisches Quadrat. Die Anzahlen der Paare von orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung bilden .

Für die Anwendung in der Geometrie ist folgender Satz wichtig: Sei eine Menge von lateinischen Quadraten, der Ordnung , mit der Eigenschaft, dass zwei verschiedene lateinische Quadrate stets zueinander orthogonal sind. Dann enthält höchstens Elemente.Matoušek & Nešetřil, 8.3 Orthogonale lateinische Quadrate.

+ (vermutete) maximale Anzahlen von MOLSOrdnung n R(n) 0 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 1 7 6 8 7 9 8 10 11 10 12 13 12 Eine Liste von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung wird als vollständig bezeichnet. Die Folge der größtmöglichen Anzahlen von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten (MOLS = mutually orthogonal Latin squares) der Ordnung ist , was über die Werte bis bekannt ist, zeigt die Tabelle rechts, die Werte für 0 und 1 sind Konvention. Es gilt: Ist und , dann ist , denn eine Liste von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten lässt sich stets vervollständigen. Für ist , für ist Ist eine Primzahl und , dann ist . Bis heute ist nicht bekannt, ob es eine natürliche Zahl gibt, die keine Primzahlpotenz ist und für die gilt. Für hinreichend große ist , also ist .J. Dénes, A.D. Keedwell: Latin squares and their applications. Acad. Press, 1974. Es gilt für immer , denn aus einer Liste von MOLS der Ordnung und einer Liste von t MOLS der Ordnung lässt sich stets eine Liste von MOLS der Ordnung herstellen. Das Verfahren wird hier an einem trivialenDa ist, gehört die Matrix zu keiner nichttrivialen Liste von MOLS. Beispiel demonstriert:

Magische Quadrate Nach seiner Konstruktion sind bei einem griechisch-lateinischen Quadrat der Ordnung n, wenn man die Zahlenpaare in geeigneter Weise bijektiv zu aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen umkodiert – z. B. – alle Zeilensummen und Spaltensummen gleich, zum Beispiel kann man dem Quadrat S so das Quadrat

zuordnen, bei dem jede Zeile und jede Spalte die magische Summe hat.

Ist in einem solchen Quadrat zusätzlich noch die Summe der beiden Diagonalen gleich der Zeilen- und Spaltensumme, dann spricht man von einem magischen Quadrat.

Anwendungen Algebra: Lateinische Quadrate und Verknüpfungstafeln mini|Verknüpfungstafel der zyklischen Gruppe C5 als lateinisches Quadrat in Farbe. Das neutrale Element ist schwarz. Farbige Verknüpfungstafeln werden in der Online-Enzyklopädie zur Mathematik MathWorld verwendet, wie auch solche in GraustufenMathWorld: Cyclic Group C_8 Die zyklische Gruppe C5 ist nicht enthalten, aber C8 zum Beispiel.

Die erste Abbildung links zeigt die vollständige Verknüpfungstafel der Gruppe : 01234001234112340223401334012440123