Eine Lucas-Carmichael-Zahl ist eine zusammengesetzte, natürliche Zahl, die eine ähnliche Bedingung wie eine Carmichael-Zahl erfüllt. Sie ist nach den beiden Mathematikern Édouard Lucas und Robert Daniel Carmichael benannt.
Definition Eine natürliche Zahl heißt Lucas-Carmichael-Zahl, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: ist eine ungerade Zahl ist quadratfrei besitzt mindestens 3 Primteiler Für jeden Primteiler der Zahl gilt: teilt Würde die Zahl nicht ungerade und quadratfrei sein müssen, dann wären Kubikzahlen von Primzahlen wie zum Beispiel oder triviale Lucas-Carmichael-Zahlen, weil für jede Kubikzahl mit den drei Teilern wäre immer ein Teiler von .
Beispiel 399 = 3 · 7 · 19 und (3+1) = 4 teilt 400 = (399+1) (7+1) = 8 teilt 400 = (399+1) (19+1) = 20 teilt 400 = (399+1)
Demzufolge ist 399 eine Lucas-Carmichael-Zahl.
Die kleinsten Lucas-Carmichael-Zahlen Die folgenden Zahlen sind Lucas-Carmichael-Zahlen (): n Primteiler 399 = 3 · 7 · 19 935 = 5 · 11 · 172015 = 5 · 13 · 312915 = 5 · 11 · 534991 = 7 · 23 · 315719 = 7 · 19 · 437055 = 5 · 17 · 838855 = 5 · 7 · 11 · 2312719 = 7 · 23 · 7918095 = 5 · 7 · 11 · 47 n Primteiler20705 = 5 · 41 · 10120999 = 11 · 23 · 8322847 = 11 · 31 · 6729315 = 5 · 11 · 13 · 4131535 = 5 · 7 · 17 · 5346079 = 11 · 59 · 7151359 = 7 · 11 · 23 · 2960059 = 19 · 29 · 10963503 = 11 · 23 · 25167199 = 11 · 41 · 149 n Primteiler73535 = 5 · 7 · 11 · 19176751 = 23 · 47 · 7180189 = 17 · 53 · 8981719 = 11 · 17 · 19 · 2388559 = 19 · 59 · 7990287 = 17 · 47 · 113104663 = 13 · 83 · 97117215 = 5 · 7 · 17 · 197120581 = 17 · 41 · 173147455 = 5 · 7 · 11 · 383 n Primteiler152279 = 29 · 59 · 89155819 = 19 · 59 · 139162687 = 3 · 7 · 61 · 127191807 = 7 · 11 · 47 · 53194327 = 7 · 17 · 23 · 71196559 = 11 · 107 · 167214199 = 23 · 67· 139218735 = 5 · 11 · 41 · 97230159 = 47 · 59 · 83265895 = 5 · 7 · 71 · 107 n Primteiler357599 = 11 · 19 · 29 · 59388079 = 23 · 47 · 359390335 = 5 · 11 · 47 · 151482143 = 31 · 103 · 151588455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43653939 = 11 · 13 · 17 · 269663679 = 31 · 79 · 271676799 = 19 · 179 · 199709019 = 17 · 179 · 233741311 = 53 · 71 · 197 Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit vier Primfaktoren ist 8.855 = 5 · 7 · 11 · 23.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit fünf Primfaktoren ist 588.455 = 5 · 7 · 17 · 23 · 43.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sechs Primfaktoren ist 139.501.439 = 7 · 11 · 17 · 19 · 71 · 79.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit sieben Primfaktoren ist 3.512.071.871 = 7 · 11 · 17 · 23 · 31 · 53 · 71.
Die kleinste Lucas-Carmichael-Zahl mit acht Primfaktoren ist 199.195.047.359 = 7 · 11 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 · 239.
Eigenschaften Aufgrund der Identität gilt für jeden Primteiler einer natürlichen Zahl : . Somit ist eine ungerade quadratfreie Zahl genau dann eine Lucas-Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: teilt . Es existieren fermatsche Pseudoprimzahlen unter den Lucas-Carmichael-Zahlen. Lucas-Carmichael-Zahlen sind keine Teilmenge der fermatschen Pseudoprimzahlen. Es ist nicht bekannt, ob eine Lucas-Carmichael-Zahl existiert, die gleichzeitig eine Carmichael-Zahl ist.
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