Der Approximationssatz von Dixmier, benannt nach Jacques Dixmier, ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren. Er besagt, dass man mittels Konvexkombinationen der unitär Konjugierten eines Elementes einer Von-Neumann-Algebra ein Element des Zentrums approximieren kann.
Formulierung des Satzes Es seien die Gruppe der unitären Elemente und das Zentrum einer Von-Neumann-Algebra . Dann gilt für jedes Element .R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.3.5Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel III.5.1, Theorem 1 Dabei bezeichnet die Bildung der konvexen Hülle und der Querstrich den Normabschluss.
Zusatz: Ist eine endliche Von-Neumann-Algebra, so ist obiger Durchschnitt einelementig. Er besteht aus dem Bild der Spur von .R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 8.3.6
Anwendungen Die Tatsache, dass für endliche Von-Neumann-Algebren der Durchschnitt des Normabschlusses der konvexen Hülle der Elemente mit dem Zentrum einelementig ist, kann verwendet werden, die Existenz der Spur zu zeigen. Jedes Element der Von-Neumann-Algebra wird auf das eindeutig bestimmte Element dieses Durchschnitts abgebildet, das definiert die Spur. Dieses Vorgehen ist im angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose ausgeführt. Mit Hilfe des Approximationssatzes von Dixmier kann man zeigen, dass für eine Von-Neumann-Algebra mit Zentrum die Abbildung
eine Bijektion von der Menge aller maximalen, zweiseitigen Ideale von auf die Menge der maximalen Ideale des Zentrums ist.Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, Kapitel III.5.2, Korollar 1
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Dixmier, Approximationssatz von