Maß (Mathematik)

mini|Ein Maß ordnet Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zu. Das Bild illustriert die Monotonieeigenschaft von Maßen, das heißt größere Mengen haben auch ein größeres Maß. Ein Maß ist in der Mathematik eine Funktion, die geeigneten Teilmengen einer Grundmenge Zahlen zuordnet, die als „Maß“ für die Größe dieser Mengen interpretiert werden können. Dabei müssen sowohl der Definitionsbereich eines Maßes, also die messbaren Mengen, als auch die Zuordnung selbst gewisse Voraussetzungen erfüllen, wie sie beispielsweise durch elementargeometrische Begriffe der Länge einer Strecke, dem Flächeninhalt einer geometrischen Figur oder dem Volumen eines Körpers nahegelegt werden.

Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Konstruktion und der Untersuchung von Maßen beschäftigt, ist die Maßtheorie. Der allgemeine Maßbegriff geht zurück auf Arbeiten von Émile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon und Maurice René Fréchet. Dabei stehen Maße stets in engem Zusammenhang mit der Integration von Funktionen und bilden die Grundlage moderner Integralbegriffe (siehe Lebesgue-Integral). Seit der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Andrei Kolmogorow ist die Stochastik ein weiteres großes Anwendungsgebiet für Maße. Dort werden Wahrscheinlichkeitsmaße verwendet, um zufälligen Ereignissen, die als Teilmengen eines Ergebnisraums aufgefasst werden, Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

Einführung und Geschichte Der elementargeometrische Flächeninhalt ordnet ebenen geometrischen Figuren wie Rechtecken, Dreiecken oder Kreisen, also gewissen Teilmengen der euklidischen Ebene, Zahlenwerte zu. Flächeninhalte können gleich null sein, beispielsweise bei der leeren Menge, aber auch bei einzelnen Punkten oder bei Strecken. Auch der „Wert“ (unendlich) kommt z. B. bei Halbebenen oder dem Äußeren von Kreisen als Flächeninhalt vor. Allerdings dürfen keine negativen Zahlen als Flächeninhalte auftreten.

mini|300px|Abzählbare Additivität eines Maßes : Das Maß einer abzählbaren disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe über die Maße der einzelnen Teilmengen. Weiterhin besitzt der Flächeninhalt ebener geometrischer Figuren eine Eigenschaft, die Additivität genannt wird: Zerlegt man eine Figur in zwei oder mehr Teile, beispielsweise ein Rechteck mittels einer Diagonale in zwei Dreiecke, dann ist der Flächeninhalt der Ausgangsfigur die Summe der Flächeninhalte der Teile. „Zerlegen“ bedeutet hier, dass die Teile paarweise disjunkt sein müssen (je zwei Teile haben also keine gemeinsamen Punkte) und dass die Vereinigung aller Teile die Ausgangsfigur ergibt. Für die Messung von Flächeninhalten komplizierterer Figuren, wie Kreisflächen oder Flächen, die zwischen Funktionsgraphen eingeschlossen sind (also für die Berechnung von Integralen), müssen Grenzwerte von Flächeninhalten betrachtet werden. Dazu ist es wichtig, dass die Additivität auch dann noch gilt, wenn Flächen in eine Folge von paarweise disjunkten Teilflächen zerlegt werden. Diese Eigenschaft wird abzählbare Additivität oder σ-Additivität genannt.

mini|Henri Léon Lebesgue Die Bedeutung der σ-Additivität für den Maßbegriff wurde erstmals von Émile Borel erkannt, der 1894 bewies, dass die elementargeometrische Länge diese Eigenschaft besitzt. Das eigentliche Maßproblem formulierte und untersuchte Henri Lebesgue im Jahre 1902 in seiner Doktorarbeit: Er konstruierte ein σ-additives Maß für Teilmengen der reellen Zahlen (das Lebesgue-Maß), das die Länge von Intervallen fortsetzt, allerdings nicht für alle Teilmengen, sondern für ein System von Teilmengen, die er messbare Mengen nannte.Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 33–34. Im Jahre 1905 zeigte Giuseppe Vitali, dass eine konsistente Erweiterung des Längenbegriffs auf alle Teilmengen der reellen Zahlen unmöglich ist, also dass das Maßproblem nicht lösbar ist.Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 5.

Da wichtige Maße, wie eben das Lebesgue-Maß, nicht für alle Teilmengen (also auf der Potenzmenge) der Grundmenge definiert werden können, müssen geeignete Definitionsbereiche für Maße betrachtet werden. Die σ-Additivität legt es nahe, dass Systeme messbarer Mengen abgeschlossen gegenüber abzählbaren Mengenoperationen sein sollten. Das führt auf die Forderung, dass die messbaren Mengen eine σ-Algebra bilden müssen. Das heißt: Die Grundmenge selbst ist messbar und Komplemente sowie abzählbare Vereinigungen messbarer Mengen sind wiederum messbar.

In der Folgezeit erweiterten Thomas Jean Stieltjes und Johann Radon die Konstruktion des Lebesgue-Maßes auf allgemeinere Maße im -dimensionalen Raum, die Lebesgue-Stieltjes-Maße. Maurice René Fréchet betrachtete ab 1915 auch Maße und Integrale auf beliebigen abstrakten Mengen. Im Jahre 1933 veröffentlichte Andrei Kolmogorow sein Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, in dem er Maßtheorie verwendet, um eine strenge axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie zu geben (siehe auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung).Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2011, S. 34.

Definition Es sei eine σ-Algebra über einer nicht-leeren Grundmenge . Eine Funktion heißt Maß auf , wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

σ-Additivität: Für jede Folge paarweise disjunkter Mengen aus gilt . Ist die σ-Algebra aus dem Zusammenhang klar, so spricht man auch von einem Maß auf .

Eine Teilmenge von , die in liegt, wird messbar genannt. Für solch ein heißt das Maß der Menge . Das Tripel wird Maßraum genannt. Das Paar bestehend aus der Grundmenge und der darauf definierten σ-Algebra heißt Messraum oder auch messbarer Raum. Ein Maß ist also eine auf einem Messraum definierte nicht-negative σ-additive Mengenfunktion mit .

Das Maß heißt Wahrscheinlichkeitsmaß (oder normiertes Maß), wenn zusätzlich gilt. Ein Maßraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß ist ein Wahrscheinlichkeitsraum. Ist allgemeiner , so nennt man ein endliches Maß. Existieren abzählbar viele Mengen, deren Maß endlich ist und deren Vereinigung ganz ergibt, dann wird ein σ-endliches (oder σ-finites) Maß genannt.Brokate, Kersting: Maß und Integral. 2011, S. 19.

Anmerkungen und erste Beispiele Ein Maß nimmt also nicht-negative Werte aus den erweiterten reellen Zahlen an. Für das Rechnen mit gelten die üblichen Konventionen, zusätzlich ist es nützlich zu setzen. Da alle Summanden der Reihe nicht-negativ sind, ist diese entweder konvergent oder divergiert gegen . Die Forderung, dass die leere Menge das Maß null besitzt, schließt den Fall aus, dass alle das Maß besitzen. In der Tat lässt sich die Forderung äquivalent ersetzen durch die Bedingung, dass ein existiert mit .Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 215. Dagegen sind die trivialen Fälle für alle (das sogenannte Nullmaß) sowie für alle (und ) Maße im Sinne der Definition. Für ein Element wird durch

für ein Maß definiert. Es wird Diracmaß an der Stelle genannt und ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Die Abbildung , die jeder endlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente, also ihre Mächtigkeit , sowie den unendlichen Mengen in den Wert zuweist, heißt Zählmaß. Das Zählmaß ist ein endliches Maß, wenn eine endliche Menge ist, und ein σ-endliches Maß, wenn höchstens abzählbar ist. Das -dimensionale Lebesgue-Maß ist ein Maß auf der σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Teilmengen von . Es ist eindeutig bestimmt durch die Forderung, dass es den -dimensionalen Hyperrechtecken ihr Volumen zuordnet: . Das Lebesgue-Maß ist nicht endlich, aber σ-endlich. Das Hausdorff-Maß ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes auf nicht notwendig ganzzahlige Dimensionen. Mit seiner Hilfe lässt sich die Hausdorff-Dimension definieren, ein Dimensionsbegriff, mit dem beispielsweise fraktale Mengen untersucht werden können.

Eigenschaften Rechenregeln Direkt aus der Definition ergeben sich die folgenden elementaren Rechenregeln für ein Maß : endliche Additivität: Für paarweise disjunkte Mengen gilt . Subtraktivität: Für mit und gilt . Monotonie: Für mit gilt . Für gilt stets . Mit dem Prinzip von Inklusion und Exklusion lässt sich diese Formel im Falle endlicher Maße auf Vereinigungen und Schnitte endlich vieler Mengen verallgemeinern. σ-Subadditivität: Für eine beliebige Folge von Mengen aus gilt .

Stetigkeitseigenschaften Die folgenden Stetigkeitseigenschaften sind grundlegend für die Approximation messbarer Mengen. Sie folgen direkt aus der σ-Additivität. σ-Stetigkeit von unten: Ist eine aufsteigende Folge von Mengen aus und , dann gilt . σ-Stetigkeit von oben: Ist eine absteigende Folge von Mengen aus mit und , dann gilt .

Eindeutigkeitssatz

Für zwei Maße auf einem gemeinsamen Messraum gilt der folgende Eindeutigkeitssatz:

Es gebe einen durchschnittsstabilen Erzeuger von , d. h. es gilt und für alle ist , mit folgenden Eigenschaften: Für alle gilt , also , und Es gibt eine Folge von Mengen in mit und für alle . Dann gilt .

Für endliche Maße mit ist die Bedingung 2 automatisch erfüllt. Insbesondere sind zwei Wahrscheinlichkeitsmaße gleich, wenn sie auf einem durchschnittsstabilen Erzeuger der Ereignisalgebra übereinstimmen.

Der Eindeutigkeitssatz liefert zum Beispiel die Eindeutigkeit der Fortsetzung eines Prämaßes zu einem Maß mittels eines äußeren Maßes und dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory.

Linearkombinationen von Maßen mini|hochkant=1.5|Poisson-Verteilungen – hier dargestellt für die Parameterwerte (blau), (grün) und (rot) – sind Maße auf . Sie lassen sich als Konvexkombinationen von Diracmaßen konstruieren.

Für eine Familie von Maßen auf dem gleichen Messraum und für nicht-negative reelle Konstanten wird durch wieder ein Maß definiert. Insbesondere sind Summen und nicht-negative Vielfache von Maßen ebenfalls Maße.

Ist beispielsweise eine abzählbare Grundmenge und , dann ist mit den Diracmaßen ein Maß auf der Potenzmenge von . Umgekehrt kann man zeigen, dass man auf diese Weise bei abzählbarer Grundmenge alle Maße auf der Potenzmenge erhält.

Sind Wahrscheinlichkeitsmaße auf und nicht-negative reelle Zahlen mit , dann ist die Konvexkombination wieder ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Durch Konvexkombination von Diracmaßen erhält man diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, allgemein ergeben sich Mischverteilungen.

Konstruktion von Maßen Maßerweiterungssatz mini|hochkant|Constantin Carathéodory Da die Elemente von σ-Algebren, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra auf , oft nicht explizit angegeben werden können, werden Maße häufig durch Fortsetzung von Mengenfunktionen konstruiert. Das wichtigste Hilfsmittel hierzu ist der Maßerweiterungssatz von Carathéodory. Er besagt, dass sich jede nicht-negative σ-additive Mengenfunktion auf einem Mengenring (ein sog. Prämaß) zu einem Maß auf der von erzeugten σ-Algebra fortsetzen lässt.Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 222. Die Fortsetzung ist eindeutig, wenn das Prämaß σ-endlich ist.

Beispielsweise bilden alle Teilmengen von , die sich als endliche Vereinigung von achsenparallelen -dimensionalen Intervallen darstellen lassen, einen Mengenring. Der elementare Volumeninhalt dieser sogenannten Figuren, der Jordan-Inhalt, ist ein Prämaß auf diesem Mengenring. Die von den Figuren erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra und die Fortsetzung des Jordan-Inhalts nach Carathéodory ergibt das Lebesgue-Borel-Maß.Werner: Einführung in die höhere Analysis. 2009, S. 226.

Nullmengen, Vervollständigung von Maßen