Der Virialsatz ( ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen den zeitlichen arithmetischen Mittelwerten der kinetischen Energie und der potentiellen Energie eines abgeschlossenen physikalischen Systems. Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius aufgestellt in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.
Das Virial ist dabei nach Clausius der AusdruckR. Clausius: Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz. Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.H. Goldstein: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.Die Definitionen des Virials variieren etwas, z. B. lassen sowohl Wolfgang Pauli in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor −1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.
Hierbei bezeichnet die auf das -te Teilchen wirkende Kraft den Ortsvektor des -ten Teilchens der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder Scharmittel. Der Virialsatz wurde von Clausius ursprünglich als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie). Er ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, z. B. in Mehrkörperproblemen der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz, einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem u. a. das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden, sowie einen relativistischen Virialsatz.
Der Virialsatz gilt nur unter gewissen Voraussetzungen, etwa im Fall des Virialsatzes der Mechanik, dass mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.
Virialsatz der Mechanik Teilchen in einem konservativen Kraftfeld Einen einfachen Fall stellen untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das konservativ, also von einem Potential abgeleitet, ist (die dazugehörende Ladung sei mit bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse):
Darin ist der Gradient des Feldes bzw. des Potentials.
Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet
wobei die kinetische Energie des Teilchens ist der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten bezeichnet.
Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen homogenes Potential vom Grad an, d. h. es gilt für (Werte für k finden sich weiter unten in Folgerungen und Beispiele), dann vereinfacht sich obige Gleichung mit der Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen:
zu
wobei die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.
Untereinander wechselwirkende Teilchen Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:
Dabei ist die Resultierende der auf das -te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Da gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad abgeleitet werden können, wie oben auf die Form
bringen.
Folgerungen und Beispiele Mit der Gesamtenergie folgt aus dem Virialsatz:
Für den bekannten Fall (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:
Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall negativ sein muss (da positiv ist).
Für harmonische Schwingungen () gilt:
Ableitung Hier wird der Darstellung im Lehrbuch von Landau und Lifschiz gefolgt, wo der Virialsatz in Zusammenhang mit dem Skalierungsverhalten mechanischer Größen (mechanische Ähnlichkeit) diskutiert wird. Dabei wird nur ausgenutzt, dass die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten ist, und die Impulse werden formal über eingeführt. Dann gilt nach dem Satz von Euler über homogene Funktionen
woraus
folgt, wobei die Summe der Skalarprodukte aus den Impulsen und den Orten aller Teilchen ist:
Nun bildet man den asymptotischen Grenzwert des zeitlichen Mittelwerts:
Insbesondere gilt für den zeitlichen Mittelwert der Zeitableitung von :
Hat man es mit einem System zu tun, in dem die Geschwindigkeiten und Orte der Teilchen beschränkt sind (z. B. bei periodischen Bahnen), so folgt
und mit weiter der Virialsatz
wenn man annimmt, dass das Potential eine homogene Funktion der Ortskoordinaten vom Grad ist. In dieser Sicht drückt der Satz eine Gleichheit von Mittelwerten von kinetischer und potentieller Energie aus mit Vorfaktoren, die sich aus dem Skalierungsverhalten ergeben: 2 bei der kinetischen Energie, da die Geschwindigkeiten oder Impulse quadratisch eingehen, beim Potential, da die Ortsvariablen mit Potenz eingehen.
Eine ähnliche Ableitung findet sich schon bei Clausius und in dem Lehrbuch der klassischen Mechanik von Herbert Goldstein. Goldstein weist auch darauf hin, dass der Virialsatz mit Potentialterm auch dann gilt, wenn zusätzlich zu den Potentialkräften Reibungskräfte vorhanden sind, die proportional zur Geschwindigkeit sind, da diese keinen Beitrag zum Virialsatz liefern. Das gilt aber nur, falls sich ein Fließgleichgewicht einstellt, also Energie zugeführt wird, sodass die Bewegung nicht vollständig zum Erliegen kommt, denn dann würden alle Zeitmittelwerte verschwinden.
Sonderfälle der Mittelwertbildung Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten . In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.
Geschlossene Bahnen Liegen geschlossene Bahnen vor, so kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung.
In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des harmonischen Oszillators () und für das Coulombpotential (), erhält man für finite (d. h. nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.
Vielteilchensystem Befindet sich ein Vielteilchensystem im thermischen Gleichgewicht, so kann das System als ergodisch betrachtet werden, d. h., das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien gebildet wird aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl der Objekte, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme
ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).
Astrophysik Für das gravitative -Teilchensystem in der Astrophysik (z. B. als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist die o. g. Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, nämlich dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen.
Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang: In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.H. Voigt: Abriss der Astronomie. BI Verlag, 1980, S. 367 ff., S. 487. Sie beträgt bei der Milchstraße Jahre (bei einem Alter von Jahren) und für typische Kugelsternhaufen Jahre. Innerhalb des Zeitraums erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen.
Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,Sebastian von Hoerner: Zeitschrift für Astrophysik. Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher. und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.
Anwendungsbeispiel: Massenbestimmung astronomischer Haufen Anwendung findet der Virialsatz beispielsweise in der Astrophysik und der Himmelsmechanik. Dort benutzt man das Newton’sche Gravitationspotential, das homogen vom Grad −1 ist. Dann gilt:
Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Abschätzungen für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie Sternhaufen, Galaxien oder Galaxienhaufen zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie Radialgeschwindigkeiten, Winkelabstände und scheinbare Helligkeiten der Einzelobjekte ausgedrückt werden. Die einzige Voraussetzung für die Anwendung des Virialsatzes ist die Kenntnis des Abstandes des Haufens. Wir wollen das Vorgehen anhand der Massenbestimmung eines solchen Haufens hier skizzieren:
Die kinetische Gesamtenergie eines Stern- oder Galaxienhaufens ist durch
gegeben. Aber weder die Einzelmassen noch die Geschwindigkeitsbeträge sind Beobachtungsgrößen. Um diese einzuführen, müssen die Beiträge der einzelnen Objekte durch die Gesamtmasse und geeignete Mittelwerte ausgedrückt werden. Zum Beispiel kann man annehmen, dass die Einzelmassen proportional zu den Einzelleuchtkräften sind und ein leuchtkraftgewichtetes Mittel bilden (durch den Index angedeutet):
Nimmt man an, dass das System sphärisch symmetrisch ist und sich im Gleichgewicht befindet (man sagt dann auch, es ist virialisiert), dann sind die Geschwindigkeiten über die Raumrichtungen gleichverteilt und es gilt
wobei bzw. die Streuungen (Abweichungen vom Mittelwert) der Geschwindigkeiten sind, das heißt die räumlichen bzw. Radialgeschwindigkeiten relativ zum Schwerpunkt des Haufens. Beispielsweise haben die Galaxien des Coma-Haufens eine Gaußverteilung der Geschwindigkeiten mit einer Streuung von 1000 km/s. Damit erhält man:
Andererseits gilt für die potentielle Gesamtenergie unter der Bedingung sphärischer Symmetrie
mit
der Gravitationskonstanten , dem Gesamtradius des Systems und einem Faktor , der von der Größenordnung 1 ist und von der radialen Verteilungsfunktion, also der Geometrie des Haufens, abhängt. Für eine (allerdings unrealistische) Gleichverteilung innerhalb des Radius ist beispielsweise . Im Allgemeinen ist der Faktor aus den beobachteten Winkelabständen der Einzelsysteme zum Haufenzentrum zu bestimmen.
Durch Anwendung des Virialsatzes für die Gravitation erhalten wir die Gesamtmasse des Haufens zu:Roger Tayler: Galaxien. Aufbau und Entwicklung. Vieweg, 1986, S. 120.
Die sich aus der Beobachtung ergebende Masse heißt Virialmasse. Da von der Größenordnung 1 ist, sieht man außerdem, dass die mittlere Geschwindigkeit etwa der Fluchtgeschwindigkeit entspricht (mit genauer Übereinstimmung für ).