Der Satz von Varignon (auch als Satz vom Mittenviereck bezeichnet) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon, dessen Lehrsatz nach seinem Tod Elémens de mathématiques (1731) veröffentlicht wurde.
Formulierung mini|hochkant|Mittenviereck mit konstruiertem Parallelogramm
Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm, welches (auch) als Varignon-Parallelogramm bezeichnet wird.Kurz gesagt gilt also: In einem Viereck ist das Mittenviereck stets ein Parallelogramm.
Beweis Sei ein Viereck und seien die Mittelpunkte der Seiten (siehe Abbildung). Betrachte das Dreieck . Nimmt man als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden auf und auf mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt . Ebenso zeigt man, dass auch . Per Transitivität der Parallelitätsrelation folgt . Auf analoge Weise zeigt man, dass auch die beiden anderen Seiten des Mittenvierecks parallel zueinander sind. Das Viereck besteht also aus zwei Paaren paralleler Seiten, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.
Folgerungen Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck, und die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.
Der räumliche Fall Der varignonsche Satz gilt auch für jedes beliebige Viereck im Anschauungsraum, also unabhängig davon, ob ein ebenes Viereck oder ein konvexes Viereck vorliegt. Ebenso gilt stets die oben genannte erste Folgerung.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 125–126
Weiteres Resultat Darüber hinaus gilt noch der folgende Zusatz:Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 126–127
In einem konvexen Viereck halbiert der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken zwischen den jeweils einander gegenüberliegenden Seitenmitten stets die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden Diagonalen.Ist im Grenzfall das vorliegende konvexe Viereck selbst schon ein Parallelogramm, so besteht nach dem Diagonalensatz die zuletzt genannte Verbindungsstrecke aus einem einzigen Punkt, welcher dann mit dem genannten Schnittpunkt und dem gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Diagonalen zusammenfällt und zugleich das Symmetriezentrum bildet.
Literatur
Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77 H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54 Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem. In: Mathematics Teacher. Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319 (doi:10.5951/MT.94.4.0316). Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem. In: Mathematics Teacher. Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408 (doi:10.5951/MT.94.5.0406).
Weblinks
Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch) Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Vierecksgeometrie Varignon, Satz von