Vergleich (Zahlen)

mini|400px|Die Ordnung der reellen Zahlen wird durch die Zahlengerade veranschaulicht. Nach rechts werden die Zahlen größer, nach links kleiner.

In der Mathematik lassen sich Zahlen aus bestimmten Zahlbereichen, etwa denen der natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen, auf festgelegte Weise vergleichen. In mathematischen Formeln werden dafür Vergleichszeichen eingesetzt. Man schreibt etwa: : Die Zahl ist kleiner als die Zahl , z. B. gilt die Ungleichung . : Die Zahl ist größer als die Zahl , z. B. gilt . : Die Zahl ist kleiner oder gleich , z. B. gilt und . : Die Zahl ist größer oder gleich , z. B. gelten und .

Durch diese jeweiligen Vergleiche erhalten jene Zahlbereiche eine Ordnungsstruktur. Die Gleichheit oder Ungleichheit von Zahlen lässt sich auch unabhängig von dieser Ordnung betrachten, hierfür siehe Identität und Gleichheit.

Verschiedene Vergleiche Die vier aufgeführten Vergleiche sind keine voneinander unabhängigen Relationen: Jeder von ihnen lässt sich durch jeden anderen ausdrücken, es ist also gerechtfertigt trotz der verschiedenen Vergleiche von der Ordnung der natürlichen, reellen etc. Zahlen zu sprechen. Beispielsweise lassen sich die anderen Vergleiche wie folgt durch die Relation ausdrücken: gilt genau dann, wenn nicht gilt. gilt genau dann, wenn gilt. gilt genau dann, wenn nicht gilt.

Auch Gleichheit und Ungleichheit sind durch jede der vier Vergleiche eindeutig festgelegt, jedoch lassen sich die Vergleiche nicht allein durch die Gleichheit oder Ungleichheit ausdrücken. Beispielsweise gilt: gilt genau dann, wenn weder noch gilt. gilt genau dann, wenn gilt oder gilt.

Definition mini|300px|Auf der Zahlengeraden liegen größere Zahlen weiter rechts. Auf den natürlichen Zahlen lässt sich der Vergleich mittels der Nachfolgerfunktion als die minimale Relation definieren, die die folgenden Eigenschaften erfüllt: Ist , so ist . Ist Nachfolger von und , so ist . Oder anders ausgedrückt: ist genau dann nicht größer als , wenn von aus mittels der Nachfolgerfunktion erreichbar ist.

In von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen ist definiert als (d. h., die Menge ist Element von ) und durch (d. h., ist Teilmenge von ).

Für ganze Zahlen ist folgende Definition von möglich: Sind und beide nichtnegativ, so gilt genau dann, wenn für und aufgefasst als natürliche Zahlen gilt. Ist negativ und nicht, so ist . Ist negativ und nicht, so ist nicht . Sind und beide negativ, so gilt genau dann, wenn gilt.

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen. Seien also zwei rationale Zahlen durch Brüche und gegeben (dabei seien ganze Zahlen und positive, natürliche Zahlen). Dann ist definiert durch .

Ordnungstheoretisch lassen sich die reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte rationaler Zahlen definieren. Sind , Teilmengen der rationalen Zahlen, Untermengen zu den reellen Zahlen (das heißt bzw. ist die Menge aller rationalen Zahlen kleiner als bzw. ), so ist genau dann, wenn Teilmenge von ist.

Reelle Zahlen lassen sich auch als Cauchy-Folgen rationaler Zahlen repräsentieren. Seien und rationale Cauchy-Folgen, die die reellen Zahlen bzw. repräsentieren. Es gelte dann genau dann, wenn (also die Äquivalenz der beiden Cauchy-Folgen) oder für alle bis auf endlich viele gilt.

Gemeinsame Ordnungseigenschaften Für Zahlen mit und gilt stets auch . Diese Eigenschaft wird Transitivität von genannt. Zudem gilt stets entweder oder oder . Diese Eigenschaft wird Trichotomie genannt. Ausgehend von diesen beiden Eigenschaften der Ordnung auf besagten Zahlbereichen abstrahiert man in der Mathematik und nennt jede Relation von mathematischen Objekten, die diese beiden Eigenschaften erfüllt, eine strenge Totalordnung. In diesem Sinne ist auch eine strenge Totalordnung. Aus diesen Eigenschaften folgt auch die Irreflexivität: Für keine Zahl aus dem jeweiligen Zahlbereich gilt . Ebenso folgt die Asymmetrie: Gilt , so gilt nicht.

Auch für gilt die Transitivität: Wenn und , so gilt stets auch . Eine weitere Eigenschaft ist die Reflexivität: Für eine beliebige Zahl aus dem jeweiligen Zahlbereich gilt . Die Relation ist antisymmetrisch: Für können nicht zugleich und gelten. Die Eigenschaft, dass für je zwei Zahlen zumindest oder gelten, wird Totalität genannt. Wiederum abstrahierend wird jede Relation, die diese Eigenschaften erfüllt, eine Totalordnung genannt. Diese Eigenschaften gelten analog für , das somit ebenfalls eine Totalordnung bildet.

Verträglichkeit mit arithmetischer Struktur mini|300px|Aus folgt Die Ordnung der natürlichen, reellen etc. Zahlen ist verträglich mit der Addition: Gilt und ist eine beliebige solche Zahl, so gilt auch . Umgekehrt folgt aus auch und somit . Falls die Subtraktion definiert ist (was für die natürlichen Zahlen nicht der Fall ist, aber etwa für die ganzen, die rationalen und die reellen Zahlen), gilt genau dann, wenn . Analog genau dann, wenn . Der Vergleich zwischen und ist also dadurch bestimmt, ob die Differenz positiv oder negativ ist.

Die Bildung des additiv Inversen, d. h. die Abbildung, die jeder Zahl die Zahl zuordnet (geometrisch gesprochen eine Spiegelung), ist dagegen nicht mit der Ordnung verträglich. Vielmehr gilt genau dann, wenn .

Im Falle der Multiplikation ist eine Unterscheidung notwendig: Die Verträglichkeit gilt völlig analog für die Multiplikation mit einer positiven Zahl. Eine beidseitige Multiplikation mit der Null dagegen führt stets zur Gleichheit: für beliebige Zahlen . Für und gilt daher zumindest noch eine Verträglichkeit mit der Multiplikation nicht negativer Zahlen: Gilt und ist nicht negativ, so gilt auch . Umgekehrt folgt aus dieser Ungleichung jedoch nicht unbedingt . Die Multiplikation mit einer negativen Zahl dagegen lässt sich als obige Spiegelung gefolgt von der Multiplikation mit einer positiven Zahl ausdrücken (z. B. ). Somit gilt, dass für zwei Zahlen mit und negatives die Ungleichung gilt.

Für die mathematische Abstraktion dieser Verträglichkeitseigenschaften siehe geordneter Körper.

Spezielle Eigenschaften der jeweiligen Ordnungen Die hier dargestellten Ordnungen auf den natürlichen, den ganzen, den rationalen und den reellen Zahlen haben bestimmte Eigenschaften, die zwar unabhängig etwa von der arithmetischen Struktur sind, aber nicht für beliebige totale Ordnungen gelten.

Die Ordnung auf den natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum, die Zahl (in manchen Definitionen auch , hier sei der Einfachheit halber stets in den natürlichen Zahlen enthalten). Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger, d. h. eine minimale Zahl , die größer als ist. Dies ist gerade die Zahl . Die Ordnung von ist eine diskrete. Die natürlichen Zahlen sind (nach oben) unbeschränkt – es existiert keine maximale natürliche Zahl. Die besitzt als einzige natürliche Zahl keinen Vorgänger. Die natürlichen Zahlen sind wohlgeordnet, d. h. jede nicht leere Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein Minimum.

Auch die ganzen Zahlen bilden eine diskrete Ordnung. In ihnen besitzt jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger . Es existiert ebenfalls kein maximales, aber auch kein minimales Element. Sie sind daher nicht mehr wohlgeordnet.

Die rationalen Zahlen bilden keine diskrete Ordnung: In den rationalen Zahlen hat keine Zahl einen Vorgänger oder einen Nachfolger, viel mehr liegt zwischen je zwei rationalen Zahlen (mindestens) eine dritte rationale Zahl, bspw. mit . Damit bilden die rationalen Zahlen eine dichte Ordnung.

Die reellen Zahlen bilden ebenfalls eine dichte Ordnung. Eine zusätzliche wichtige Eigenschaft ist die Supremumseigenschaft bzw. Ordnungsvollständigkeit: Jede beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum und ein Infimum, d. h. eine kleinste obere bzw. eine größte untere Schranke. Die natürlichen Zahlen liegen konfinal in den rationalen und sogar den reellen Zahlen, d. h., zu jeder reellen Zahl existiert eine natürliche Zahl, die mindestens ebenso groß ist. Die Ordnung auf den reellen Zahlen hat somit abzählbare Konfinalität. Die Ordnungen induzieren jeweils eine Ordnungstopologie. Bzgl. der Ordnungstopologie der reellen Zahlen liegen die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen.

Berechnung Mittels Stellenwertsystemen lassen sich natürliche Zahlen als Ziffernfolgen darstellen. Anhand solcher Darstellungen lassen sich je zwei natürliche Zahlen vergleichen, d. h., es lässt sich berechnen, ob die durch die eine Ziffernfolge dargestellte Zahl kleiner als die andere ist. Sind zwei natürliche Zahlen und jeweils durch ihre Ziffernfolgen ohne führende Nullen in einem Stellenwertsystem gegeben, so gilt genau dann , wenn die Ziffernfolge zu kürzer ist als die zu oder beide gleich lang sind und die Ziffernfolge zu lexikographisch kleiner als die zu ist. Der lexikographische Vergleich baut dabei auf dem Vergleich einstelliger Zahlen auf. Mittels Stellenwertsystemen werden natürliche Zahlen auch in modernen Digitalrechnern dargestellt, aufbauend auf der Vergleiche möglich sind. Die Zahlen, mit denen arithmetisch-logische Einheiten solcher Rechner direkt umgehen können, haben feste Größen, enthalten also führende Nullen, sodass ein Vergleich gemäß der lexikographischen Ordnung möglich ist. Direkt mittels der obigen Definition der Ordnung lassen sich auch Vergleiche von beliebigen ganzen oder rationalen Zahlen berechnen. Bei Darstellung rationaler Zahlen in wissenschaftlicher Notation lassen sich zwei Zahlen vergleichen, indem man zunächst den Exponenten und dann, falls der Exponent bei beiden gleich ist, die Mantisse vergleicht. Das gilt insbesondere bei den dyadische Brüche darstellenden Gleitkommazahlen, die auf Digitalrechnern häufig für – insbesondere auch näherungsweise – Berechnungen verwendet werden. Für Vergleiche von Ganz- und Gleitkommazahlen stellen viele Prozessoren (etwa auf x86 basierende) eigene Instruktionen zur Verfügung.