Als Mathieusche Differentialgleichung wird eine spezielle lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung bezeichnet. Die DGL ist nach dem Mathematiker Émile Léonard Mathieu benannt und ist ein Spezialfall der Hillschen Differentialgleichung mit der Parameterfunktion

Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung – meist in Normalform bzw. der unten angegebenen alternativen Darstellung – werden als Mathieu-Funktionen bezeichnet.

Normalform Die Gleichung wird in der Literatur in unterschiedlicher Form dargestellt. Eine als Normalform bezeichnete GleichungKurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5. hat die Gestalt

Ist eine Funktion der Zeit

so stehen die Abkürzungen und für

Alternative Darstellung Die DGL wird unter anderem auch folgendermaßen angegebenNIST Digital Library of Mathematical Functions: Mathieu Functions and Hill’s Equation (englisch)Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.

oder

Lösungseigenschaften Die Mathieusche Differentialgleichung lässt sich als lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit zwei Gleichungen darstellen:

Die Koeffizientenmatrix ist hier -periodisch. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Fundamentalmatrix beschreiben als

Dabei ist und ebenfalls -periodisch. Durch die Berechnung der jordanschen Normalform der Matrix ergeben sich zwei Fälle:

hat zwei verschiedene (komplexe) Eigenwerte : In diesem Fall sind die Lösungen von der Form und , wobei jeweils -periodisch sind. hat einen einzigen Eigenwert : Hier sind die Lösungen von der Gestalt und mit einer -periodischen Funktion .

Siehe auch Parametrischer Oszillator Paul-Falle Quadrupol-Massenspektrometer

Einzelnachweise

Weblinks List of equations and identities for Mathieu Functions functions.wolfram.com (englisch)

Mathieu’sche Differentialgleichung in der Zustandsdarstellung Code (Octave) zur numerischen Berechnung eines Anfangswertproblems

Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung Kategorie:Normalform