400px|mini|Animation, die den Vorgang der quadratischen Ergänzung darstellt. (Details, animierte GIF-Version) Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so dass ein quadriertes Binom („vollständiges Quadrat“) entsteht und die erste oder zweite binomische Formel „rückwärts“ angewendet werden kann.
Dieses Verfahren kann zum Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelpunktform (und damit auch des Scheitelpunkts, also des Extremwerts) von quadratischen Funktionen verwendet werden. In der analytischen Geometrie gehört dieses Verfahren zu den Methoden, mit denen Gleichungen von Quadriken auf eine Normalform gebracht werden können. Dabei werden quadratische Terme in mehreren Variablen (quadratische Formen) umgeformt.
Beispiele mini|Bestimmung der Scheitelpunktfunktion mit der quadratischen Ergänzung
Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion Eine quadratische Funktion, die in der allgemeinen Form
vorliegt, soll in die Scheitelpunktform
umgewandelt werden, wobei die Koordinaten des Scheitelpunkts sind. Zunächst wird der Leitkoeffizient ausgeklammert:
Der eingeklammerte Term wird jetzt durch das Einfügen der „nahrhaften Null“ (auch „Nullergänzung“ genannt) so umgeformt, dass die erste binomische Formel angewendet werden kann. Quadratische Ergänzung: Binomische Formel: Ausmultiplizieren: Scheitelpunktform: Ablesen des Scheitelpunkts:
Beispiel Gegebene quadratische Funktion: Ausklammern des Leitkoeffizienten: Wegen wird die „nahrhafte Null“ eingefügt: Quadratische Ergänzung: Binomische Formel: Ausmultiplizieren: Scheitelpunktform der Funktion: Ablesen des Scheitelpunkts:
Lösung einer quadratischen Gleichung Gegebene quadratische Gleichung: Normierung: Die linke Seite der Gleichung wird jetzt in die Form gebracht, so dass die zweite binomische Formel angewendet werden kann. wird auch auf der rechten Seite der Gleichung addiert: Quadratische Ergänzung: Bildung des Quadrats: Wurzelziehen: Auflösen der Betragsfunktion: oder Lösungsmenge:
Normalform einer Quadrik
Die Quadrik mit soll auf affine Normalform gebracht werden. Quadratische Ergänzung in der Variablen (d. h. wird als Parameter angesehen) und anschließende quadratische Ergänzung in ergibt
Mit der Substitution , wird also die Gleichung der Quadrik auf die Kreisgleichung transformiert.
Bestimmung einer Stammfunktion Das unbestimmte Integral
soll bestimmt werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert . Für das Integral bedeutet dies:
.
Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt, welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann:
.
Bestimmung eines bestimmten Integrals Es soll das Parameterintegral
berechnet werden. Dieses Integral tritt in der Wahrscheinlichkeitstheorie als momenterzeugende Funktion der Standardnormalverteilung auf. Der Exponent wird zu einem vollständigen Quadrat ergänzt:
. Nun lässt sich das Integral auswerten: . Im letzten Schritt wurde benutzt, dass der Integrand die Wahrscheinlichkeitsdichte der -Verteilung ist und folglich das Integral über alle reellen Zahlen den Wert eins hat.
Geschichte mini|hochkant=1.3|Die geometrische Lösung der Gleichung mit quadratischer Ergänzung nach al-Chwarizmi , ergibt das vollständige Quadrat Die quadratische Ergänzung samt ihrer geometrischen Veranschaulichung geht zurück auf das Lehrbuch (Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen, entstanden um 825 n. Chr.) des persischen Mathematikers und Universalgelehrten al-Chwarizmi, der im 9. Jahrhundert in Bagdad wirkte. 1145 entstand die erste lateinische Übersetzung von Robert von Chester, ., die einen großen Einfluss auf die weitere Entwicklung der Mathematik in der Renaissance hatte. So verweist Cardano in seinem Werk Ars magna explizit auf al-Chwarizmi als den Erfinder der beschriebenen „Kunst“.
Mit „Ergänzen und Ausgleichen“ ist die Addition und gleichzeitige Subtraktion des Terms gemeint, wie in obiger grafischer Animation und im nebenstehenden BildFranz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte – Babylonische Algebra. Berlin 2022, S. 101–102.Mit dieser geometrischen Methode erhält man nicht die negative Lösung dargestellt. Dieser Kniff lässt das vollständige Quadrat
mit den Seitenlängen entstehen, dessen Flächeninhalt betragen muss, wenn das (reelle) die Gleichung löst. So erhält man die Lösung(en) für .
Literatur
Weblinks
Darstellung von MathWorld (englisch) Darstellung von Mathe-Online.at (deutsch) Erklärung, interaktive Beispiele und Übungen
Einzelnachweise
Kategorie:Elementare Algebra Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video