Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form
mit schreiben lässt. Hierbei sind Koeffizienten; ist die Unbekannte der Gleichung. Ist zusätzlich , also die quadratische Gleichung von der Form , so spricht man von einer reinquadratischen Gleichung, ansonsten auch von einer gemischt quadratischen Gleichung.
In der Mathematik, bzw. genauer der Algebra, interessiert man sich für die Lösungen von quadratischen Gleichungen (aber auch allgemeineren Gleichungen), also für diejenigen Zahlen, die, wenn man sie für einsetzt, zu einer wahren Aussage führen. Das trifft im Beispiel auf zu. Die Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung lassen sich mithilfe der Formel
explizit bestimmen. Diese Formel wird als a-b-c-Formel oder Mitternachtsformel bezeichnet. Im Bereich der reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Ist die Diskriminante unter der Wurzel negativ, so existiert keine Lösung; ist sie Null, so existiert genau eine Lösung (genauer: eine doppelte); wenn sie positiv ist, so existieren zwei Lösungen. Insbesondere lässt sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung obiger Form bereits durch eine Untersuchung der Diskriminante bestimmen, ohne die Lösungen selbst genau berechnen zu müssen.
Die linke Seite der Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades) ; der Funktionsgraph dieser Funktion im kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung – falls vorhanden – die Nullstellen dieser Parabel.
Konkrete Anwendungen haben quadratische Gleichungen etwa in der Elementargeometrie, da quadratische Terme mit Flächeninhalten von Rechtecken korrespondieren können. In der modernen Mathematik, aber auch in mathematischen Modellen, tauchen sie in ihrer einfachsten Form hingegen eher selten auf, oder sind lediglich ein einfacher Spezialfall einer weitaus umfangreicheren Theorie (etwa jene der algebraischen Gleichungen oder quadratischen Formen). Dennoch gehören quadratische Gleichungen und ihre Auflösung fest zum Lehrplan an vielen Schulen weltweit, da sie Beispiele von Gleichungen sind, die mit in der Schulmathematik zugänglichen Mitteln behandelbar sind, was auf die meisten Gleichungen nicht zutrifft.
In der höheren Algebra bzw. algebraischen Zahlentheorie werden quadratische Gleichungen auch über anderen Körpern betrachtet. Im Falle der komplexen Zahlen haben sie stets mindestens eine Lösung, womit der in der reellen Situation mögliche Fall „keine Lösung“ entfällt. Im Fall endlicher Primkörper führt die Frage nach Lösbarkeit zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
Einführung
Gleichungen
Es ist
Beispiel einer wahren Gleichung: Beide Zahlen auf jeder Seite des Gleichheitszeichens sind identisch. Gleichungen können umgeformt werden. Dahinter steckt die Idee, dass, wenn zwei identische Größen auf identische Weise manipuliert werden, die Resultate wieder identisch sein müssen. Aus beidseitiger Addition von mit geht hervor – wieder eine gültige Gleichung. Oft beinhalten Gleichungen eine Unbekannte, etwa
Beidseitige Division durch formt dies zu um, womit die Unbekannte plötzlich „sichtbar“ wird. Im Nachhinein ist auch der einfache Zusammenhang leicht zu prüfen, und es war der „einzige Kandidat“, der mit schon unausweichlich bestimmt war. In vielen Problemen der wissenschaftlichen Praxis entstehen aus bekannten Beziehungen zunächst unbekannter Größen Gleichungen, weshalb Techniken zu deren Auflösen große Bedeutung zukommt. Die innerhalb einer wissenschaftlichen Theorie erarbeiteten kausalen Zusammenhänge oder ökonomische Forderungen „zwingen“ die Größen in einen begrenzten Raum an Möglichkeiten, doch erst ein Auflösen der entstehenden Gleichungen macht diese wenigen Möglichkeiten „sichtbar“.
Beispiel einer quadratischen Gleichung
Ein rechteckiges Zimmer ist zwei Meter länger als breit und hat den Flächeninhalt Quadratmeter – wie lang und wie breit ist es? Die Frage führt zur Gleichung ( = Breite des Zimmers in Metern), also
Dies ist ein Beispiel einer quadratischen Gleichung. Will man diese auflösen, müssen beidseitig so oft Umformungen vorgenommen werden, bis das isoliert auf einer Seite steht (und auf der anderen Seite der oder die möglichen Werte, die die Gleichung lösen). Bei quadratischen Gleichungen erweisen sich die binomischen Formeln als nützlich. Die Grundidee ist, „umgekehrt“ zu denken: Schafft man es, irgendwo einen Term der Form zu erzeugen, kann eine Gleichung vereinfacht werden. Dies erfordert ein gewisses Geschick beim „Erkennen“ und zu Beginn meist etwas Übung. Im obigen Beispiel kann auf der linken Seite durch Hinzufügen eines nichtigen Terms wie folgt eine binomische Formel „erzwungen“ werden:
Die Quadratwurzel von ist , weshalb und somit oder sein muss (was letztlich der entscheidende Schritt zum „Auflösen“ der Gleichung ist). Daraus ergibt sich über
die Lösungsmenge . Damit hat das Zimmer die Breite .Die andere Lösung hat im Rahmen dieser Praxisfrage keine sinnvolle Interpretation. Man sieht im Nachgang schnell
Dies war schon seit Aufstellung der Bedingungen an das Zimmer „unausweichlich“, wurde aber erst nach Auflösung der quadratischen Gleichung für Geist und Auge „sichtbar“.
Definition Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet
Dabei heißt quadratisches Glied, lineares Glied und konstantes Glied (auch Absolutglied oder absolutes Glied) der Gleichung.Günther Rolles, Michael Unger (Hrsg.): Duden Basiswissen Schule: Mathematik, 5. bis 10. Klasse. 7. Auflage, Berlin 2021, S. 149. Die Voraussetzung ist wichtig, da mit das quadratische Glied entfallen würde, und nur noch eine lineare Gleichung vorläge.
Die Gleichung ist in Normalform oder normiert, falls . Aus der allgemeinen Form lässt sich die zugehörige Normalform gewinnen, indem durch dividiert wird. Mit der Definition und lässt sich die Normalform somit schreiben als
Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten mini|Lösen von Quadratischen Gleichungen Eine Lösung einer quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung keine bis zwei Lösungen.
Anzahl der reellen Nullstellen Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante bestimmen. Im allgemeinen Fall ist , im normierten Fall ist (zur Herleitung siehe unten):
mini|300px|Lage der Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante: Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der -Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen und Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der -Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form bringen. Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der -Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
Einfache Spezialfälle Ist der Koeffizient des linearen Gliedes oder das absolute Glied , so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.
Fehlendes lineares Glied Die reinquadratische Gleichung mit ist äquivalent zu
Für hat sie die beiden Lösungen und bzw. kurz geschrieben
.
Für hat die Gleichung die „doppelte“ Lösung .
Für existieren keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen lassen sich mithilfe der imaginären Einheit schreiben als .
Zum Beispiel hat die Gleichung die Lösungen und die Gleichung hat die Lösung . Die Gleichung hat keine reellen Lösungen, jedoch die komplexen Lösungen .
Fehlendes konstantes Glied Aus der Gleichung ergibt sich durch Ausklammern , d. h., es muss oder gelten. Die beiden Lösungen lauten also und Zum Beispiel hat die Gleichung die Lösungen und .
Gleichung in Scheitelpunktform Die Scheitelpunktform
ist eine Variation der reinquadratischen Gleichung . Subtraktion von und Division durch liefert die äquivalente Gleichung
Für ergibt sich daraus
Durch Addition von erhält man die Lösungen und Für erhält man die Lösung .
Für erhält man die beiden komplexen Lösungen und
Beispiel:
Lösen mit quadratischer Ergänzung
Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung wird eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform zunächst auf Scheitelpunktform gebracht, die dann wie oben beschrieben aufgelöst werden kann. Dazu wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass die linke Seite die Form hat. Danach wird auf beiden Seiten addiert. Dies ist die „quadratische Ergänzung“. Die linke Seite hat nun die Gestalt und kann mit der binomischen Formel zu umgeformt werden. Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor.
Dies wird am besten anhand eines konkreten Zahlenbeispiels verdeutlicht. Betrachtet wird die quadratische Gleichung
Zunächst wird die Gleichung normiert, indem man durch den Leitkoeffizienten (hier 3) dividiert:
Das konstante Glied (hier 6) wird auf beiden Seiten subtrahiert:
Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Die linke Seite muss so ergänzt werden, dass sich eine binomische Formel (hier die zweite) rückwärts anwenden lässt. Das aus der obigen binomischen Formel ist dann , also muss auf beiden Seiten der Gleichung addiert werden:
Die linke Seite wird nach der binomischen Formel umgeformt, die rechte Seite vereinfacht:
Dies führt zu , also zu den beiden Lösungen und
Allgemeine Lösungsformeln Man kann quadratische Gleichungen auch lösen, indem man eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Lösungsformeln verwendet. In diese müssen dann nur noch die Koeffizienten der quadratischen Gleichung eingesetzt werden, um die Lösungen zu erhalten.
Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (Formel) Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung lauten: . Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als Mitternachtsformel bezeichnet, weil „Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt“. In Österreich ist der Ausdruck große Lösungsformel gebräuchlich.Franz Embacher: Quadratische Gleichungen. Skript auf mathe-online.at.
Alternative Formen Alternative Formulierungen der a-b-c-Formel, die mehr der weiter unten behandelten p-q-Formel ähneln, sind:
Wenn man die quadratische Gleichung in der Form
angibt (d. h. mit ), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel:
Durch Erweitern der a-b-c-Formel mit dem Term erhält man eine Formel, welche auch für den linearen Fall anwendbar ist, dafür jedoch im Fall die Berechnung der Lösung wegen einer Division durch Null nicht mehr liefern kann. In beiden Fällen wird die Lösungsformel ohnehin nicht benötigt. Für betragsmäßig sehr kleine ist die alternative Form jedoch robuster gegenüber numerischer Auslöschung.
Lösung der a-b-c-Formel bei negativer Diskriminante