Intervallarithmetik

Intervallarithmetik bezeichnet in der Mathematik eine Methodik zur automatisierten Fehlerabschätzung auf Basis abgeschlossener Intervalle. Dabei werden nicht genau bekannte reelle Größen betrachtet, die aber durch zwei Zahlen und eingegrenzt werden können. Dabei kann zwischen und liegen oder auch einen der beiden Werte annehmen. Dieser Bereich entspricht mathematisch gesehen dem Intervall . Eine Funktion , die von einem solchen unsicheren abhängt, kann nicht genau ausgewertet werden. Es ist schließlich nicht bekannt, welcher Zahlenwert innerhalb von für eigentlich eingesetzt werden müsste. Stattdessen wird ein möglichst kleines Intervall bestimmt, das gerade die möglichen Funktionswerte für alle enthält. Durch gezielte Abschätzung der Endpunkte und erhält man eine neue Funktion, die wiederum Intervalle auf Intervalle abbildet.

Dieses Konzept eignet sich unter anderem zur Behandlung von Rundungsfehlern direkt während der Berechnung und falls Unsicherheiten in der Kenntnis der exakten Werte physikalischer und technischer Parameter vorliegen. Letztere ergeben sich oft aus Messfehlern und Bauteil-Toleranzen. Außerdem kann Intervallarithmetik dabei helfen, verlässliche Lösungen von Gleichungen und Optimierungsproblemen zu erhalten.

mini|Körpermasseindex für eine 1,80 m große Person in Relation zum Körpergewicht m (in Kilogramm) Als Beispiel soll hier die Berechnung des Körpermasseindex (BMI von engl. Body Mass Index) betrachtet werden. Der BMI ist die Körpermasse in Kilogramm geteilt durch das Quadrat der Körpergröße in Metern. Zur Illustration soll die Gewichtsbestimmung (eigentlich Massebestimmung) mit Hilfe einer Badezimmerwaage erfolgen, bei der das Gewicht auf ein Kilogramm genau abgelesen werden kann. Es werden also niemals Zwischenwerte bestimmt – etwa 79,6 kg oder 80,3 kg –, sondern auf ganze Zahlen gerundete Angaben. Dabei ist es natürlich sehr unwahrscheinlich, dass man wirklich exakt 80,0 kg wiegt, wenn dies angezeigt wird. Bei üblicher Rundung auf den nächstliegenden Gewichtswert liefert die Waage 80 kg für jedes Gewicht zwischen 79,5 kg und 80,5 kg. Den entsprechenden Bereich aller reellen Zahlen, die größer oder gleich 79,5 und gleichzeitig kleiner oder gleich 80,5 sind, kann einfach als Intervall aufgeschrieben werden. Um Verwechslungen zu vermeiden, setzt man meistens einen Punkt statt eines Kommas als Dezimaltrennzeichen.

Für einen Menschen, der 80 kg wiegt und 1,80 m groß ist, liegt der BMI bei ungefähr 24,7. Bei einem Gewicht von 79,5 kg und gleicher Körpergröße müsste aber nur ein Wert von 24,5 angenommen werden, wohingegen 80,5 kg schon fast 24,9 entsprechen. Der tatsächliche BMI liegt also in dem Bereich . In diesem Fall kann der Fehler in der Praxis zwar noch vernachlässigt werden, jedoch ist das nicht bei allen Rechnungen der Fall. Beispielsweise schwankt das Gewicht auch im Laufe eines Tages, so dass der BMI hier durchaus zwischen 24 (noch normalgewichtig) und 25 (schon übergewichtig) variieren kann. Ohne detaillierte Rechnung können aber nicht immer von vornherein Aussagen darüber getroffen werden, ob ein Fehler letztendlich groß genug ist, um maßgeblichen Einfluss zu haben.

In der Intervallarithmetik wird der Bereich möglicher Ergebnisse ausdrücklich berechnet. Vereinfacht gesagt, rechnet man nicht mehr mit Zahlen, sondern mit Intervallen, die nicht genau bekannte Werte repräsentieren. Ähnlich wie ein Fehlerbalken um einen Messwert drückt ein Intervall das Ausmaß der Unsicherheit bezüglich der zu berechnenden Größe aus. Hierfür werden einfache Rechenoperationen, wie die Grundrechenarten oder trigonometrische Funktionen, für das Rechnen mit Intervallen neu definiert, um äußere Grenzen eines gesuchten Wertebereiches zu erhalten.

mini|Toleranzbehaftete Funktion (türkis) und Intervallnäherung (rot)

Einführung Das Hauptaugenmerk bei der Intervallarithmetik liegt darauf, auf möglichst einfache Art und Weise obere und untere Schranken für den Wertebereich einer Funktion in einer oder mehreren Variablen zu bestimmen. Dabei müssen diese Schranken nicht unbedingt dem Supremum bzw. Infimum entsprechen, da die genaue Berechnung dieser Werte oft zu schwierig ist. (Es lässt sich zeigen, dass diese Aufgabenstellung im Allgemeinen NP-schwer ist.)

Üblicherweise beschränkt man sich auf die Behandlung abgeschlossener, reeller Intervalle, also Mengen der Form , wobei auch und zulässig sind. Dabei entsprechen und den meist halboffen geschriebenen Intervallen, die alle reellen Zahlen kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich umfassen. Entsprechend bezeichnet das Intervall die gesamte reelle Achse.

Wie beim klassischen Rechnen mit Zahlen muss zunächst einmal definiert werden, wie die arithmetischen Operationen und elementaren Funktionen auf Intervalle anzuwenden sind. Komplexere Funktionen können dann aus diesen Grundelementen zusammengesetzt werden (Lit.: Kulisch, 1989).

Grundrechenarten mini|Körpermasseindex für verschiedene Gewichte in Relation zur Körpergröße L (in Metern)

Zu Erläuterung wird nochmal auf das Beispiel vom Anfang zurückgegriffen. Bei der Bestimmung des Körpermasseindex spielt neben dem Gewicht auch die Körpergröße eine Rolle. Diese wird üblicherweise nur in ganzen Zentimetern gemessen werden: eine Angabe der Körpergröße von 1,80 Meter bedeutet also eigentlich eine Körpergröße irgendwo zwischen 1,795 m und 1,805 m. Diese Ungenauigkeit muss zusätzlich zu der Schwankungsbreite beim Gewicht, das zwischen 79,5 kg und 80,5 kg liegt, eingerechnet werden. Für den BMI muss nun wie gesagt die Körpermasse in Kilogramm durch das Quadrat der Körpergröße in Metern geteilt werden. Sowohl für 79,5 kg und 1,795 m als auch für 80,5 kg und 1,805 m ergibt sich dafür ungefähr 24,7. Es muss nun aber auch berücksichtigt werden, dass die fragliche Person möglicherweise nur 1,795 m groß ist bei einem Gewicht von 80,5 kg – oder auch 1,805 m bei 79,5 kg. Auch die Kombinationen aller möglichen Zwischenwerte müssen in die Betrachtung eingehen. Mit Hilfe der im Folgenden festgelegten Intervallarithmetik kann der intervallwertige BMI

tatsächlich ausgerechnet werden.

Eine Operation zwischen zwei Intervallen, wobei beispielsweise für Addition oder Multiplikation steht, muss die Bedingung

erfüllen. Für die vier Grundrechenarten ergibt sich daraus

falls zulässig ist für alle und .

Für praktische Anwendungen lässt sich dies noch weiter vereinfachen: Addition: Subtraktion: Multiplikation: Division: , wobei falls .

Für die Division durch ein Intervall, das die Null enthält, definiert man zunächst einmal und . Für gilt , so dass man eigentlich setzten müsste. Dadurch verliert man allerdings die Lücke und damit wertvolle Informationen. Üblicherweise rechnet man daher mit den Teilmengen und einzeln weiter.

Weil innerhalb einer Intervallrechnung auch mehrere solcher Aufspaltungen auftreten können, ist es manchmal sinnvoll, das Rechnen mit sogenannten Multi-Intervallen der Form zu systematisieren. Die entsprechende Multi-Intervall-Arithmetik pflegt dann eine disjunkte Menge von Intervallen und sorgt dann beispielsweise auch dafür, sich überschneidende Intervalle zu vereinigen (Lit.: Dreyer, 2005).

Da man eine Zahl als das Intervall interpretieren kann, erhält man sofort eine Vorschrift zur Kombination von intervall- und reellwertigen Größen.

Mit Hilfe dieser Definitionen lässt sich bereits der Wertebereich einfacher Funktionen, wie bestimmen. Setzt man beispielsweise , und , so ergibt sich

.

Interpretiert man als Funktion einer Variablen mit intervallwertigen Parametern und , dann lässt sich die Menge aller Nullstellen dieser Funktionenschar leicht bestimmen. Es gilt dann

,

die möglichen Nullstellen liegen also im Intervall .

mini|Multiplikation positiver Intervalle Wie im obigen Beispiel kann die Multiplikation von Intervallen oft auf die Multiplikation nur zweier Zahlen zurückgeführt werden. Es gilt nämlich

, falls .

Die Multiplikation lässt sich hier als Flächenbestimmung eines Rechtecks mit variierenden Kantenlängen interpretieren. Das intervallwertige Ergebnis deckt dann alle Werte von der kleinst- bis zu größtmöglichen Fläche ab.

Entsprechendes gilt, wenn eines der beiden Intervalle ganz im nicht-positiven und das andere ganz im nicht-negativen Bereich der reellen Achse liegt. Generell muss bei der Multiplikation noch beachtet werden, dass das Ergebnis sofort auf gesetzt werden muss, falls unbestimmte Werte, wie auftreten. Dies tritt z. B. bei einer Division auf, bei der Zähler und Nenner beide Null enthalten.

Notation Um intervallwertige Größen leichter in mathematischen Formeln zu erkennen, zweckentfremdet man die eckigen Klammern zur „Markierung“.

Dementsprechend bezeichnet ein Intervall und die Menge aller reellen Intervalle wird als

abgekürzt. Für eine Box oder einen Vektor von Intervallen verwendet man zusätzlich fetten Schriftschnitt: .

Bei einer derart kompakten Notation ist zu beachten, dass nicht mit einem sogenannten uneigentlichen Intervall  verwechselt wird, bei dem obere und untere Grenze übereinstimmen.

Elementare Funktionen mini|Wertebereich einer monotonen Funktion

Um auch Funktionen mit Intervallmethoden behandeln zu können, deren Terme sich nicht aus den Grundrechenarten ergeben, muss man auch noch weitere elementare Funktionen für Intervalle neu definieren. Dabei nutzt man vorhandene Monotonieeigenschaften aus.

Für monotone Funktionen in einer Variablen lässt sich der Wertebereich ebenfalls leicht bestimmen. Ist monoton steigend oder fallend in einem Intervall , dann gilt für alle Werte mit die Ungleichung , bzw. .

Den Wertebereich des Intervalls erhält man durch Auswertung der Funktion an den Endpunkten und : .

Daher lassen sich folgende Intervallisierungen elementarer Funktionen leicht definieren: Exponentialfunktion: , für , Logarithmus: , für positive Intervalle und Ungerade Potenzen: , für ungerade .

Es ist außerdem noch wichtig, den Wertebereich für gerade Potenzen bestimmen zu können. Im Gegensatz zur üblichen Numerik ist es hier nicht sinnvoll, die Berechnung auf die Multiplikation zurückzuführen. Beispielsweise bewegt sich für innerhalb des Intervalles , wenn . Versucht man aber durch Multiplikationen der Form zu bestimmen, so erhält man in jedem Fall als Ergebnis .

Sinnvoller ist es hier, die Parabel  als Zusammensetzung einer monoton fallenden (für ) und einer monoton steigenden Funktion (für ) zu betrachten. Es gilt also für gerade :

, falls , , falls , , sonst.

Allgemeiner kann man sagen, dass es für stückweise monotone Funktionen ausreicht, diese an den Endpunkten  eines Intervalls , sowie an den in  enthaltenen sogenannten kritischen Punkten auszurechnen. Die kritischen Punkte entsprechen hierbei den Stellen, an denen sich die Monotonieeigenschaften ändern.

Dies lässt sich z. B. auf Sinus und Kosinus anwenden, die zusätzlich an Stellen  bzw.  für alle ausgewertet werden müssen. Hierbei spielen höchstens fünf Punkte eine Rolle, da man als Ergebnis sofort  festlegen kann, wenn das Eingangsintervall mindestens eine ganze Periode enthält. Außerdem müssen Sinus und Kosinus lediglich an den Randpunken neu evaluiert werden, da die entsprechenden Werte an den kritischen Stellen – nämlich −1, 0, +1 – vorab abgespeichert werden können.

Intervallerweiterungen allgemeiner Funktionen Im Allgemeinen findet man für beliebige Funktionen keine derart einfache Beschreibung des Wertebereiches. Man kann diese aber oft auf Intervalle ausdehnen. Wenn  eine Funktion ist, die einen reellwertigen Vektor auf eine reelle Zahl abbildet, dann nennt man  eine Intervallerweiterung von , wenn gilt

.

Dies definiert die Intervallerweiterung nicht eindeutig. So sind beispielsweise sowohl  als auch  zulässige Erweiterungen der Exponentialfunktion. Da möglichst scharfe Erweiterungen gewünscht sind, also solche, die so genau wie möglich den gesuchten Wertebereich approximieren, wird man in diesem Fall eher wählen, da sie sogar den exakten Bereich bestimmt.