Ungleichungen in Vierecken sind Ungleichungen, die verschiedene Größen in einem Viereck zueinander in Beziehung setzen. Die Ungleichungen gelten, wenn sich das Viereck im (ungekrümmten) Euklidischen Raum befindet. bezeichnen im Folgenden die Seitenlängen, die Diagonallängen eines Vierecks.
rechts|mini|Größen im Viereck
Verallgemeinerte Dreiecksungleichung
In jedem Viereck ist die Summe dreier beliebiger Seitenlängen größer als die vierte Seitenlänge:
Daraus folgt:
Ptolemäische Ungleichung
In jedem Viereck gilt die Ungleichung des Ptolemäus:
.
Im Falle eines Sehnenvierecks gilt Gleichheit (Satz von Ptolemäus).
Ungleichung zwischen Umfang und Diagonalen
In jedem konvexen Viereck liegt die Summe der Diagonalenlängen zwischen dem halben und dem ganzen Umfang:
Vierecksungleichung für Metriken
Aus der Dreiecksungleichung folgt die Vierecksungleichung in einem metrischen Raum:
.
Dabei sind beliebige Punkte des metrischen Raumes. bezeichnet die Abstandsfunktion.
Beweis:
Durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man zunächst
bzw. .
Die Behauptung folgt daraus mithilfe einer Fallunterscheidung. Für ergibt sich , für entsprechend .
Siehe auch Parallelogrammgleichung
Literatur Oene Bottema et al: Geometric Inequalities. Wolters-Noordhoff Publishing, Gronigen 1969, S. 128–136 (Digitalisat) Martin Josefsson: A few Inequalities in Quadrilaterals. In: International Journal of Geometry, Band 4, Ausgabe 1, S. 11–15 (Digitalisat) Dragoslav S. Mitrinovic, J. Pecaric, V. Volenec: Recent Advances in Geometric Inequalities. Kluwer Academic Publishing, S. 401–412
Weblinks
Kategorie:Vierecksgeometrie Viereck