mini|hochkant=1.2| mini|hochkant=1.2|Einheitskreis mit spitzem Winkel x. Um E wird ein zweiter Kreis mit Radius gezeichnet.
Die Jordansche Ungleichung oder Jordan-Ungleichung liefert eine lineare obere und untere Abschätzung der Sinus-Funktion für spitze Winkel. Sie ist nach Camille Jordan benannt.
Ungleichung Die Jordan-Ungleichung lautet:
Sie wird unter anderem in der Funktionentheorie verwandt. Analytisch lässt sie sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung beweisen.Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168 Geometrisch lässt sich ihre Richtigkeit unmittelbar am Einheitskreis mit Hilfe eines zweiten Kreises erkennen (siehe Zeichnung).Nach Feng Yuefeng: Proof without words: Jordan’s inequality. In: Mathematics Magazine, Band 69, Nr. 2, 1996, S. 126
Folgerungen, Erweiterungen und verwandte Ungleichungen Als Folgerung aus der Jordan-Ungleichung erhält man, dass für eine reelle Zahl mit stets gilt: .
Nach US-amerikanischen Mathematikern Raymond Redheffer und J. P. Williams ist die verwandte Redheffer-Williams-Ungleichung benannt:Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33 Für eine reelle Zahl ist stets .
Literatur Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168 Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923 Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality. Journal of Inequalities and Applications 2011, 2011:130, doi:10.1186/1029-242X-2011-130 Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33
Weblinks Jordan-Ungleichung im Proof Wiki (englisch)
Jordan- und Kober-Ungleichungen auf cut-the-knot.org
Einzelnachweise
Kategorie:Ungleichung