In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden die Jacobischen Thetafunktionen, benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi, eine spezielle Klasse holomorpher Funktionen zweier komplexer Variablen. Jacobi untersuchte sie als erster systematisch und entwickelte auf dieser Grundlage seine Theorie elliptischer Funktionen. Sie sind ein Spezialfall einer weitaus größeren Klasse von Thetafunktionen mehrerer Veränderlicher, die allgemein aus Gittern in den Räumen konstruiert werden können.
Die Thetafunktionen bilden elliptische Gegenstücke der Exponentialfunktionen bzw. trigonometrischen Funktionen. Wie es für elliptische Funktionen typisch ist, weisen sie eine Art doppelter Periodizität auf entlang der reellen und der imaginären Richtung der komplexen Ebene (Gitterstruktur). Zugleich sind sie als unendliche Reihe sowie als unendliches Produkt darstellbar, deren Summanden beziehungsweise Faktoren in einer Vielzahl von Varianten aus Produkten von Exponential- und Cosinus- oder Sinusfaktoren bestehen.
Die Jacobischen Thetafunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen, Modulformen, quadratischen Formen und der Modulräume. In der Physik sind sie zudem bei der Lösung der Diffusionsgleichung und bei der Lösung der Wärmeleitungsgleichung, dem sogenannten Wärmeleitungskern, von Bedeutung.
Entdeckungsgeschichte Eingeführt wurden die Thetafunktionen 1829 von Carl Gustav Jacobi, der diese Funktionen in seinem Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum niederschrieb. Jacobi verwendete für diese Funktionengruppe den griechischen Buchstaben und gab ihr den Namen Thetafunktion. Sie ist bei Jacobi die Grundlage seiner Behandlung elliptischer Funktionen. Jacobi behandelte die Thetafunktionen, die elliptischen Amplitudenfunktionen und andere mehrfach periodische komplexe Funktionen in seinen VorlesungenCarl Gustav Jacobi: Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihe abgeleitet. Vorlesungsausarbeitung von Karl Wilhelm Borchardt 1838. In: Jacobi: Werke, Band 1, 1881 (Herausgeber Borchardt, Karl Weierstraß), S. 497–538. an der Albertus-Universität Königsberg und entwickelte diese systematisch. Die Bedeutung der Thetafunktion für die Theorie elliptischer Funktionen erkannte schon Carl Friedrich Gauß insbesondere im Zusammenhang mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel (AGM), er veröffentlichte aber nicht darüber. Die Thetafunktion selbst war in Spezialfällen schon Leonhard Euler und Johann I Bernoulli bekanntCarl Ludwig Siegel: Lectures on Complex Function Theory. Band 2. Wiley-Interscience, 1971, S. 163. und wurde von diesen beiden Mathematikern insbesondere in Bezug auf die Thematik der Summenreihen und Produktreihen behandelt. Weitere Beiträge zur Theorie der Thetafunktion stammten im 19. Jahrhundert insbesondere von Karl Weierstraß, Bernhard Riemann, Ferdinand Georg Frobenius und Henri Poincaré, der die Thetafunktionen in seinen Forschungen über die verallgemeinerten Eisenstein-Reihen analysierte.
Definition Klassische Thetafunktion Die klassische Jacobische Thetafunktion ist definiert durch:
Dabei ist und mit der oberen Halbebene . Somit ist die klassische Thetafunktion nach Jacobi als Aufsummierung unendlich vieler Potenzen zur Basis der Eulerschen Zahl und in Abhängigkeit vom Kreisbogenmaß und vom imaginären Halbperiodenverhältnis definiert (der Name Halbperiodenverhältnis stammt aus der Theorie elliptischer Funktionen). Dabei verhält sich der Exponent in Beziehung zum Summenindex quadratisch. Die Reihe ist in normal konvergent. Sie stellt eine in ganz holomorphe Funktion dar. Insbesondere ist für festes , also , eine ganze Funktion, und für festes ist eine auf holomorphe Funktion.
Weitere Thetafunktionen Entsprechend der Periodizität bzw. Quasiperiodizität der Funktion bezüglich (siehe Abschnitt Transformationsformel) werden vier Hilfsfunktionen eingeführt, die den Funktionswerten , , und entsprechen. Als Funktionssymbole dafür sind (kleines Theta mit zwei Indizes, die gleich 0 oder 1 sind) und (kleines Theta mit einem Index von 1 bis 4) gebräuchlich.
Bei der Schreibweise mit zwei Indizes wird die Thetafunktion auf folgende Weise verallgemeinert:
Von Bedeutung sind vor allem die Funktionen , bei denen die Parameter und gleich 0 oder 1 sind:
mini|344x344px|Funktion ϴ₁ mit Nomen 0,1·exp(0,1·i·π)
Ebenfalls häufig verwendet werden die jacobischen Thetafunktionen , , und . In der Literatur sind die Definitionen ziemlich uneinheitlich. Die folgende Definition entspricht der Version im Handbook of Mathematical Functions von Abramowitz und Stegun:
Das zweite Argument () ist das elliptische Nomen, das über mit dem (Halb-)Periodenverhältnis zusammenhängt. Da der Wert von meist aus dem Zusammenhang klar ist, wird dieses Argument häufig weggelassen. Die Definitionsgleichungen können auch (gleichwertig) mit trigonometrischen Funktionen formuliert werden:
Der Faktor in den ersten beiden Gleichungen ist zu interpretieren als .
Mit den folgenden Formeln lassen sich die Schreibweisen mit zwei Indizes bzw. einem Index ineinander umrechnen:
Dabei gilt wieder .
Im Folgenden werden die Funktionen aus jeweils zwei Abszissen und einer Ordinate graphisch abgebildet: An diesen dreidimensionalen Graphenbildern ist die Tatsache erkennbar, dass die Funktionen und für Nomina stets positive Ordinatenwerte ergeben.
Neben den angegebenen Definitionen der vier Hilfsfunktionen existieren zahlreiche Varianten. Jacobi verwendete ursprünglich die Funktionssymbole (entsprechend ), (entsprechend ), (Eta, entsprechend ) und (entsprechend ). Gelegentlich wird als (oder nur als ) bezeichnet. Manchmal werden die Thetafunktionen als Funktionen von und aufgefasst, manchmal als Funktionen von und . Daher findet man zuweilen unterscheidende Schreibweisen wie und . Manche Autoren versehen die Variable mit dem Faktor . In diesem Fall haben die Funktionen die Perioden 1 bzw. 2 statt bzw. . Im Rest des Artikels wird hauptsächlich die Schreibweise mit zwei Indizes ohne den Faktor verwendet.
Produktdarstellung
Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:
Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf
Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass keine Nullstellen in der oberen Halbebene hat.
Auch die Hilfsfunktionen lassen sich als unendliche Produkte schreiben:
Theta-Nullwert Unter dem Theta-Nullwert versteht man den Funktionswert der Thetafunktion für . Oft wird das gleiche Symbol verwendet wie für die Funktion mit zwei Variablen.
Entsprechend sind die Nullwerte der Hilfsfunktionen , , und definiert.
Es ergeben sich folgende Definitionsformeln für die drei sogenannten standardisierten Theta-Nullwertfunktionen:
Die angegebenen unendlichen Produkte ergeben sich aus dem Jacobi-Tripelprodukt.
Bei dieser Schreibweise gibt analog zu den obigen Formeln über die Produktreihendefinitionen die erste tiefgestellte Zahl nach dem Theta die Verschiebung der Exponentenbasis um 1/2 in der Summendarstellung an. Die zweite tiefgestellte Zahl entscheidet über die Alternierung der Vorzeichen in der Summendarstellung. Im Werk Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration von den Gebrüdern Borwein wurden die soeben gezeigten Summendefinitionen der drei grundlegenden Theta-Nullwertfunktionen auf der Seite 33 beschrieben. Außerdem gelten für die Quadrate der Thetafunktionen diese Beziehungen unter der Bedingung :
Eigenschaften Nullstellen Für festes hat die Funktion einfache Nullstellen an den Stellen mit .
Transformationsformel Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es gilt:
Dies ist eine Folgerung aus der 1-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion .
Außerdem gilt:
Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel
Diese lässt erkennen, dass die Variable modular ist, da sie neben der 2-Periodizität noch ein Gesetz unter der Stürzung erfüllt. Speziell für den Theta-Nullwert ist dies von zentraler Bedeutung, denn dort reduziert sich dies auf
Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen, also jener Zweig, der positive Zahlen auf positive Zahlen abbildet.
Das Transformationsgesetzhttps://metaphor.ethz.ch/x/2019/fs/401-4110-19L/sc/talk4.pdf findet seine Erklärung in der poissonschen Summationsformel. Diese erlaubt es, die Fourier-Reihe von 1-periodischen Reihen des Typs
anzugeben. Ist eine glatte Funktion, deren sämtliche Ableitungen für schnell abklingen, etwa mit exponentieller Geschwindigkeit, so ist diese Reihe absolut konvergent und stellt eine Funktion dar. Für diese offenbar 1-periodische Funktion besagt dann die Poissonsche Summationsformel
wobei
die Fourier-Transformation von ist. Wegen des Erscheinens beider Terme und in einer Formel ist dies von besonderer Bedeutung, wenn eine Funktion ist, die ihre eigene Fourier-Transformierte ist. Dies trifft zum Beispiel auf die Glockenkurve zu. Zusammen mit der allgemeinen Formel , wenn und , die sich schnell durch Substitution ergibt, findet man damit via und ( rein imaginär)
Mittels des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen dehnt sich diese Funktionalgleichung, wegen holomorpher Funktionen auf beiden Seiten, auf ganz aus.
Die Poissonsche Summenformel wird vor allem zu Fourier-analytischen Untersuchungen verwendet. Neben Siméon Poisson erforschten insbesondere Bernhard Riemann und der US-amerikanische Mathematiker Harold Mortimer Edwards Junior diese Thetafunktionsformel.
Integraldarstellung Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:
Integriert wird in der Gaußschen Zahlenebene über die zur reellen Achse parallele Gerade durch den Punkt , und zwar hin zu größerem Realteil.
Die zugehörige Theta-Nullwertfunktion hat für positive x-Werte diese Integraldarstellung:
Eine ähnliche Formel wurde im Aufsatz Square series generating function transformations von der Mathematikerin Maxie Schmidt aus Georgia behandelt.
Jacobische Identität
Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:
Ähnliche Gesetze lassen sich für die Addition und Subtraktion aufstellen, unter anderem:
Diese Identitäten wurden insbesondere durch Whittaker und Watson erforscht.
Verschiebung des Arguments Für die Verschiebung des Arguments um bzw. gelten folgende Aussagen:
Dabei ist der Faktor gegeben durch .
Nullwert der Ableitung von θ1
Für die Nullwerte der Hilfsfunktionen gilt:
Der Strich bei bezeichnet die Ableitung nach dem ersten Argument.
Die zugehörige Produktentwicklung ist
Grenzwertbildung mini|359x359px|Graph des Sekans hyperbolicus mini|359x359px|Gaußsche Glockenkurvenfunktion exp(-x²) mit Stammfunktion
Im Folgenden wird ein wichtiger Grenzwert der Funktion behandelt:
Für gilt (siehe Abschnitt zum Theta-Nullwert):
Durch Einsetzen von für eine beliebige natürliche Zahl in die zweite Gleichung folgt:
Die Summanden der rechten Seite lassen sich wegen
durch die Hyperbelsekans-Funktion ausdrücken.
Nun wird beidseitig mit multipliziert.
Die rechte Seite lässt sich als riemannsche Summe für das Integral auffassen. Damit erhält man den folgenden Grenzwert:
Durch die Substitution und beidseitiges Radizieren folgt:
Der letzte Grenzwert kann verwendet werden, um das Integral (Gaußsche Glockenkurve) zu berechnen:
Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen Zusammenhang mit elliptischen Integralen
Zwischen dem vollständigen elliptischen Integral erster Art
und den Theta-Nullwerten besteht folgender Zusammenhang: Setzt man , und , so gilt:
wird als elliptisches Nomen bezeichnet.
Des Weiteren gilt:
Vergleich der drei Formeln zeigt die Jacobi-Identität .
Zusammenhang mit der Dedekindschen Etafunktion Die Thetafunktion hängt eng zusammen mit der Dedekindschen Etafunktion, es gilt:
Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der Modulgruppe Mittels der Thetafunktion lassen sich Modulformen definieren. Setzt man , so gilt aufgrund des Transformationsverhaltens: