Im Jahr 1778 wurde von Leonhard Euler die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben.Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58–70, online bei books.google.de Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.

Hypergeometrische Differentialgleichung Die hypergeometrische Funktion , wobei die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung: .

Singularitäten Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.

Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung

mit

und

erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei und .

Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:

und

Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch , folgende Gestalt an:

mit

und

Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei eine hebbare Singularität.

Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung Mit dem Potenzreihenansatz mit komplexen Koeffizienten lautet die hypergeometrische Differentialgleichung: .

Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung .

Zusammenfassen der Potenzen von führt zu .

Mittels Indexverschiebung ergibt sich .

Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn: .

Somit ist für den Koeffizienten folgende Rekursion gefunden:

Hierbei bezeichnet das Pochhammer-Symbol.

Wird als Anfangswert gesetzt, so lautet die erste Basislösung der hypergeometrischen Differentialgleichung: .

Für erhält man als zweite linear unabhängige BasislösungErwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley & Sons 1988, S. 204 f.

Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf: mit

Siehe auch Gaußsche hypergeometrische Funktion Gammafunktion

Literatur

Ludwig Bieberbach: Theorie der Differentialgleichungen Springer, Berlin 1930, Zweiter Abschnitt, IV. Kapitel, § 7, uni-goettingen.de

Einzelnachweise

Kategorie:Gewöhnliche Differentialgleichung