Baustatik

mini|Abfangung einer Dachstütze im Bahnhof Breda, Niederlande – derartige Konstruktionen müssen baustatisch nachgewiesen werden mini|Statisch irrelevante Konstruktion, die nur Eigengewicht sowie vernachlässigbare Wind- und Schneelasten zu tragen hat. Ein Nachweis ist auch für derartige funktionslose Bauelemente erforderlich mini|Versagen einer nichttragenden Wand unter einer Spannbetondecke, auch für solche leichten Trennwände werden Fundamente benötigt. mini|Beispiel für eine statische Berechnung

Baustatik oder die Statik der Baukonstruktionen ist die Lehre von der Sicherheit und Zuverlässigkeit von Tragwerken im Bauwesen. In der Baustatik werden die Kräfte und deren gegenseitige Auswirkungen in einem Bauwerk sowie in jedem dazugehörigen Bauteil berechnet. Die Berechnungsverfahren der Baustatik sind Hilfsmittel der Tragwerksplanung und mit der Lehre der Modellbildung und der Konstruktionslehre Teil der Tragwerkslehre. Die Baustatik bedient sich der Mittel der Festigkeitslehre, der Technischen Mechanik, der Statik starrer Körper und der Kontinuumsmechanik.

Die Baustatik ist eine Sammlung rechnerischer und grafischer Verfahren, welche dazu dienen, bei Bauwerken aus der Einwirkung äußerer Lasten auf Belastungen und Verformungen mit deren Spannungen zu schließen, die Lastabtragung des Tragwerks nachzuvollziehen und damit letztlich dessen Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen (ein Tragwerk ist die Modellvorstellung der lastabtragenden Teile eines Bauwerks, die sich in Steifigkeit, Festigkeit und Material grundsätzlich unterscheiden können).

Die auf ein Bauwerk einwirkenden Lasten unterteilt man nach der Häufigkeit ihres Auftretens in ständige (etwa das Eigengewicht der Konstruktion), veränderliche (etwa Schnee, Wind, Temperatur, Verkehr oder schwankende Wasserstände) und außergewöhnliche Einwirkungen (etwa Erdbeben, Feuer oder den Anprall von Fahrzeugen). Diese realen Lasten, werden i. d. R. mithilfe von Normen mit einer gewissen Versagenswahrscheinlichkeit liegend auf der sicheren Seite abgeschätzt. Eine Zielsetzung der Baustatik ist, die ungünstigste Kombination der i. d. R. laut Norm relevanten Kombinationen aus diesen angenommenen Lasten zu ermitteln, und zwar hinsichtlich der Tragsicherheit (z. B. Bruch, Plastizitätsvermögen, Knicken) und der Gebrauchstauglichkeit (z. B. Verformungen, Rissbreiten, Schwingungen).

Die Problemstellungen beinhalten hauptsächlich quasistatische Belastungen sowie statische Festigkeitsnachweise und Stabilitätsnachweise, während die verwandte Baudynamik die Reaktion von Konstruktionen auf zeitlich veränderliche Lasten (wie z. B. Wind) erfasst, wobei dynamische Lasten mit Methoden der Statik berechnet werden können. Diese sogenannte quasistatische Berechnung berücksichtigt die dynamischen Effekte mit Faktoren, die groß genug sind, damit die so ermittelte Abschätzung sicher auf der richtigen Seite liegt. Im normalen Hochbau werden Schwingungsnachweise im Zuge der baustatischen Berechnung je nach Baustoff mit gewissen Bauwerksabmessungen automatisch als erfüllt betrachtet (z. B. im europäischen Norm EN 1992 die Grenzschlankheit, welche die Mindestdicke einer Platte in Abhängigkeit einer fiktiven Spannweite und des Bewehrungsgrades vorschreibt, um einen gesonderten Schwingungsnachweis nicht führen zu müssen).

Als spezielles und spezialisiertes Teilgebiet der Mechanik bedient sich die klassische Baustatik vor allem der Elastizitätstheorie und des Hookeschen Gesetzes, es kann aber genauso in der Plastizitätstheorie, wie der Fließgelenktheorie angewendet werden.

Abgrenzungen und Begriffe Der Begriff Statik wird mehrdeutig verwendet und betrifft oft die theoretisch-mathematisch-physikalische Seite (Statik als Teilgebiet der Technischen Mechanik), während die Baustatik die Anwendung dieser Statik im Bauwesen zum Ziel hat. Die Planung des Tragwerkes erfolgt i. d. R. ohne baustatische Berechnungen (i. d. R. vom Architekten). Daraus wird üblicherweise ein statisches Model mit dem Lastabtragungsmechanismus definiert, welcher anschließend üblicherweise die Bemessung folgt, also die Festlegung von Abmessungen, Bewehrung etc.

Der verantwortliche Baustatiker oder Tragwerksplaner – heute in der Regel ein Bauingenieur, seltener ein Architekt – wird umgangssprachlich oft als Statiker bezeichnet. Das Ergebnis seiner Überlegungen und Berechnungen, die Statische Berechnung, wird in einigen Zusammenhängen Standsicherheitsnachweis, meist aber verkürzt ebenfalls Statik genannt.

Aufgaben Die wichtigste Annahme der Baustatik wie der Statik ist, dass sich das Tragsystem im Gleichgewicht befindet. Ein wesentlicher Aspekt der Baustatik ist es, aus einem komplexen Bauwerk ein klar definiertes Tragsystem zu modellieren, das die Nachweise mit einem wirtschaftlich sinnvollem Aufwand erfüllen kann. Zuerst werden die rechnerischen Lasten ermittelt. Daraus ergeben sich rechnerische Schnittgrößen und Verformungen, um eine Bemessung durchzuführen. Die einwirkenden Lasten, welche sich im Zuge einer statischen Annahme jederzeit im Gleichgewicht befinden, werden über die tragenden Bauteile kurzgeschlossen.

Tragwerke mini|Träger auf zwei Stützen mini|Einfeldträger mit Auflagerkräften mini|Statisches System eines Durchlaufträgers Die Baustatik kennt zwei große Gruppen von Tragwerken: Stabwerke (Stäbe, Träger, Stützen, Rahmen, Bogen, Fachwerke) Flächentragwerke, bestehend aus Platten, Scheiben, Schalen oder Membranen.

Einwirkungen (Lasten) Die Einwirkungen (bzw. Lasten), für die ein Tragwerk mittels der Baustatik bemessen werden muss, sind u. a. Eigengewicht Nutzlast (früher auch Verkehrslast) Windlast Schneelast Wasserdruck Erddruck Fahrzeuganprall Erdbeben; Bemessungskriterien (Erdbeben) Eisdruck, Eislast Temperatur Zwang

Dynamische Lasten (z. B. Stöße, Vibrationen, Erdbeben) und die daraus entstehenden Verformungen (z. B. Vibrationen, Schwingungen) werden im Hochbau und Straßenbau üblicherweise in statische Ersatzlasten umgerechnet, bevor sie auf ein Bauwerk angesetzt werden.

Berechnungsverfahren

Die Berechnungsverfahren in der Baustatik lassen sich unterteilen in: Zeichnerische Verfahren (Grafische Statik) Rechnerische Verfahren (Starrkörperstatik, Elastizitätslehre, Nichtlineare Stabstatik, …) Experimentelle Statik

mini|Cremonaplan Zeichnerische Verfahren Cremonaplan Drei-Kräfte-Verfahren Culmann-Verfahren Seileckverfahren Krafteckverfahren

Rechnerische Verfahren Zu den rechnerischen Verfahren der Baustatik zählen u. a.:

mini|Ritterscher Schnitt mini|Spannungstrapezverfahren – Spannungen in einem Kragträger Klassische Verfahren Rittersches Schnittverfahren Kraftgrößenverfahren Weggrößenverfahren Formänderungsverfahren Momentenausgleichsverfahren Drehwinkelverfahren Cross-Verfahren Kani-Verfahren (Verfahren nach Kani) Spannungstrapezverfahren

Matrizenverfahren Finite-Elemente-Methode (FEM) Finite-Differenzen-Methode (FDM) Randelemente-Methode (REM) (=Boundary Element Method, BEM) Discrete element method (DEM) (=Distinct element method)

Computer-Berechnungen Für Konrad Zuse waren die gute Formalisierbarkeit und der hohe Zeitaufwand statischer Berechnungen die ursprüngliche Motivation, programmierbare Rechner zu entwickeln. Statische Berechnungen gehörten darum von Anfang an zu den Computer-Anwendungen, die nach und nach zu statischen Bemessungsprogrammen für jeden Zweck führten. Statische Berechnungen werden heute fast nur noch mit Computerprogrammen erstellt. Die untersuchten statischen Modellbildungen werden oftmals komplexer und anspruchsvoller. Die Berechnung von ebenen Flächentragwerken wie Deckenplatten, elastisch gebetteten Platten, Wandscheiben etc. ist heute in der Praxis eine Routineaufgabe. Mit der Finite-Elemente-Methode werden i. d. R. kompliziertere Tragwerke wie Membran- und Schalentragwerke untersucht.

Erweiterte Technische Biegelehre Die Technische Biegelehre wurde derart erweitert, dass für die allgemeine Schnittgrößenkombination (N, My, Mz, Vz, Vy, T) der zugehörige Verzerrungszustand auch bei nichtlinearem Werkstoffverhalten berechnet werden kann. Er ist ebenfalls eine Dehnungsebene, die infolge der zu berücksichtigenden Gleitung zusätzlich noch verwölbt wird. Bei der Erweiterten Technischen Biegelehre (ETB) werden analog der Technischen Biegelehre die notwendigen Bedingungen von Gleichgewicht und geometrischer Verträglichkeit bei realistischem Werkstoffverhalten erfüllt. Die Anwendung der ETB macht die getrennten Nachweise Biegebemessung und Schubbemessung überflüssig.

Theorie I., II. oder III. Ordnung Verformtes Tragwerk mit Betrachtung des Gleichgewichtes in der unverformten Lage Theorie I. Ordnung

Bei Anwendung der Theorie I. Ordnung werden die im Balkenquerschnitt herrschenden Gleichgewichte zwischen Belastung (Kräfte und Momente) und Beanspruchung (Spannungen) am unverformten Balken betrachtet. Die Lage der Kräfte wird auf den undeformierten Stabquerschnitt bezogen, d. h. die Verzerrungen und Rotationen müssen viel kleiner sein als 1; hingegen werden die Verzerrungen für die Spannungsberechnung nicht Null gesetzt, da ein undeformierter Stab wegen des verallgemeinerten Hookeschen Gesetzes einem unbelasteten Stab gleichzusetzen wäre. Diese Vorgehensweise ist i. d. R. nur dann zulässig, wenn die Verformungen so klein sind, dass sie die Ergebnisse der Berechnung nur unwesentlich beeinflussen, oder dies normativ geregelt ist.

Verformtes Tragwerk mini|Knicken Wenn die Änderung der Schnittgrößen durch die Auslenkung nicht vernachlässigt werden kann, muss bei der Berechnung die Geometrie des verformten Tragwerkes berücksichtigt werden. Dabei ist es im Allgemeinen außerdem erforderlich, auch die ungewollten Abweichungen des Tragwerkes von der geplanten Geometrie (z. B. Schiefstellung von Stützen) und die Vorverformungen der Bauteile (z. B. Krümmung von Druckstäben) zu berücksichtigen. Die zu berücksichtigende Größe dieser Imperfektionen im Bauingenieurwesen ist in Normen vorgeschlagen.

Theorie II. Ordnung

Bei der Theorie II. Ordnung wird i. d. R. angenommen, dass die Verformungen eines Bauteils klein sind. Dies stellt im Bauwesen die Regel dar, denn große Verdrehungen führen u. a. dazu, dass die Gebrauchstauglichkeit i. d. R. nicht mehr gegeben ist. Bei der linearisierten Theorie II. Ordnung folgen aus der Annahme kleiner Verdrehungen φ die Vereinfachungen sin φ = φ und cos φ = 1 der Kleinwinkelnäherung (siehe auch P-Delta-Effekt).

Theorien höherer Ordnungen Seltener ist es erforderlich, auch große Verformungen eines Tragwerkes zu erfassen, die Vereinfachungen der Theorie II. Ordnung gelten dann nicht mehr. Ein Beispiel dafür ist die Berechnung von Seilnetzen. In diesem Fall spricht man von einer Berechnung nach der Theorie III. Ordnung.

Zwischen den Theorien II. und III. Ordnung gibt es keine klare Trennung, weshalb man manchmal auch nur von der Theorie I. und II. Ordnung spricht.

In manchen Büchern kann man auch noch eine Theorie IV. Ordnung finden, die z. B. das Nachbeulverhalten erläutert.

Baustoffe Die Berechnungsergebnisse der Baustatik dienen der Bemessung der Tragwerke. Diese unterscheiden sich auch nach den Baustoffen, die deshalb ganz unterschiedliche Bemessungsverfahren bedingen: Beton, Stahlbeton, Spannbeton, Mauerwerk (Massivbau) Stahl und andere Metalle, speziell Aluminium (Stahlbau und allgemeiner Metallbau) Beton mit Stahl (Verbundbau) Holz (Holzbau) Kunststoff (Kunststoffbau) Boden und Erdstoffe (Grundbau) Konstruktiver Glasbau

Geschichte der Baustatik Die Geschichte der Baustatik ist eng mit den Forschungen und Veröffentlichungen u. a. der folgenden Autoren verknüpft: Archimedes (287–212 v. Chr.) Hebelgesetz Leonardo da Vinci (1452–1519), erste anschauliche Überlegungen zur Gewölbewirkung und Balkenbiegung, qualitative Aussagen zur Tragfähigkeit Simon Stevin (1548–1620), flämischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur. Parallelogramm der Kräfte, Statik fester Körper und der Flüssigkeiten; Einführung der Dezimalstellen