Die Risikoprämie (RP, ; je nach Vorzeichen auch Risikoabschlag oder Risikozuschlag genannt) ist allgemein in der Wirtschaft die Entschädigung für ein durch den Risikoträger übernommenes Finanzrisiko.
Die Risikoprämie ist konkret in der Kostenrechnung das im Gewinn enthaltene Äquivalent für das allgemeine Unternehmerwagnis.Springer Fachmedien Wiesbaden (Hrsg.), Kompakt-Lexikon Internationale Wirtschaft, 2013, S. 320 Speziell bei der Kapitalanlage müssen risikoscheue Anleger eine Risikoprämie in ihre Erwartungen des Realzinses einbauen, wenn Unsicherheit über die Inflationsentwicklung besteht.Springer Fachmedien Wiesbaden (Hrsg.), Gabler Volkswirtschafts-Lexikon, 1997, S. 513 So setzt sich beispielsweise die erwartete Gleichgewichtsrendite einer Aktie aus dem risikolosen Basiszinssatz und der Risikoprämie zusammen.Springer Fachmedien Wiesbaden (Hrsg.), Gabler Volkswirtschafts-Lexikon, 1997, S. 570 In der Außenwirtschaftstheorie ist die Risikoprämie die Differenz zwischen der erwarteten Rendite einer Kapitalanlage in Fremdwährung und der Rendite einer vergleichbaren Anlage in Inlandswährung.Springer Fachmedien Wiesbaden (Hrsg.), Gabler Volkswirtschafts-Lexikon, 1997, S. 931 Die Risikoprämie ist versicherungstechnisch der wichtigste kalkulatorische Bestandteil der Versicherungsprämie (Bruttoprämie), der für die reine Risikoübernahme vom Versicherer festgesetzt wird.Dieter Farny/Elmar Helten/Peter Koch/Reimer Schmidt (Hrsg.), Handwörterbuch der Versicherung HdV, 1988, S. 525 f.
Finanzmathematik und Entscheidungstheorie In der Finanzmathematik und Entscheidungstheorie ist die Risikoprämie die Differenz zwischen dem Erwartungswert eines unsicheren Vermögens , z. B. Wertpapiers (Lotterielos, Aktie, Anleihe, Sparbuch), und dem individuellen Sicherheitsäquivalent , () dieses Vermögens, das heißt derjenigen sicheren Auszahlung CE, z. B. sofort und in bar, die dem Betreffenden subjektiv den gleichen Nutzen verspricht (und damit gleich viel wert ist) wie das unsichere Vermögen Helmut Laux: Entscheidungstheorie; Springer-Verlag 2005, ISBN 3-540-23576-0, S. 216 ff.:
Entscheidend für Betrag und Vorzeichen der Risikoprämie RP ist demnach in erster Linie das Verhältnis zwischen dem für ein und dasselbe Vermögen w stets gleichen mathematischen Erwartungswert E(W) und dem individuellen Sicherheitsäquivalent CE des betreffenden Marktteilnehmers:
Ist E(w) > CE, wird die Risikoprämie RP positiv, d. h. der Betreffende ist bereit, demjenigen, der ihm das Risiko des unsicheren Vermögens (und damit die Gefahr eines möglicherweise realen Vermögensverlusts) abnimmt, dafür eine Prämie zu zahlen. Bekanntestes Beispiel solcher Transaktionen sind Versicherungsabschlüsse, bei denen man die Risikoprämie RP auch als Versicherungsprämie bezeichnet.Marktteilnehmer, deren Sicherheitsäquivalent CE für gewöhnlich kleiner als der Erwartungswert E(w) ihres unsicheren Vermögens ist, werden risikoscheu bzw. risikoavers genannt. Maßgeblich für risikoaverse Entscheidungen ist dabei die höhere Gewichtung möglicher Vermögensverluste gegenüber möglichen Vermögensgewinnen. Ist E(w) = CE, wird die Risikoprämie RP gleich Null, d. h. der Betreffende ist weder bereit, jemand anderem eine Prämie für die Übernahme des eigenen Vermögensrisikos zu zahlen noch umgekehrt jemand anderem dessen Vermögensrisiko abzukaufen.Marktteilnehmer, deren Sicherheitsäquivalent CE sich für gewöhnlich mit dem Erwartungswert E(w) ihres unsicheren Vermögens deckt, werden risikoneutral genannt. Maßgeblich für risikoneutrale Entscheidungen ist die Gleichgewichtung möglicher Vermögensverluste und -gewinne. Ist E(w) < CE, wird die Risikoprämie RP negativ, d. h. der Betreffende ist nun umgekehrt bereit, demjenigen, der ihm das Risiko seines unsicheren Vermögens (und damit die Aussicht auf einen möglicherweise realen Vermögensgewinn) abtritt, dafür eine Prämie zu zahlen. Bekanntestes Beispiel solcher Transaktionen sind praktisch alle realen, d. h. mathematisch betrachtet stets „unfairen“ Lotterien, deren Lospreis dabei regelmäßig über ihrem Erwartungswert E(L) bleibt.Marktteilnehmer, deren Sicherheitsäquivalent CE für gewöhnlich größer ist als der Erwartungswert E(w) ihres unsicheren Vermögens ist, werden risikoliebend bzw. risikoaffin genannt. Maßgeblich für risikoaffine Entscheidungen ist dabei die höhere Gewichtung möglicher Vermögensgewinne gegenüber möglichen Vermögensverlusten.
Formale Beschreibung
Gegeben seien eine reelle, messbare und umkehrbare Nutzenfunktion u(w) zusammen mit ihrer Inversen w(u) sowie ein unsicheres Vermögen x, zusammengesetzt aus einem sicheren Ausgangsvermögen und einer Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert E(X) = 0. Für den Erwartungswert des unsicheren Vermögens gilt dann:
Ist die Gleichung
eindeutig lösbar, nennt man die dadurch definierte reelle Zahl die Risikoprämie (bzw. das Sicherheitsäquivalent der Zufallsvariablen XVgl. ) bei gegebenem Ausgangsvermögen .
Ist die Nutzenfunktion u(w) wie gefordert umkehrbar, z. B. streng monoton steigend, lässt sich die Risikoprämie mittels der inversen Nutzenfunktion w(u) wie folgt berechnenPeter Kischka: Vorlesung Statistik II, Kap. IV: Einführung in die Entscheidungstheorie; Jena, WS 2005/2006, S. 21.:
Interpretation Die positive Risikoprämie ist der Abschlag, den ein risikoaverser Entscheider (mit für ihn zutreffender konkaver Nutzenfunktion) in Kauf zu nehmen bereit ist, um das Risiko der Zufallsvariablen X bei festem durchschnittlichem Ertrag zu vermeiden. Die negative Risikoprämie ist der Zuschlag, den ein risikoaffiner Entscheider (mit für ihn zutreffender konvexer Nutzenfunktion) zu zahlen bereit ist, um das zusätzliche Risiko der Zufallsvariablen X bei festem durchschnittlichem Ertrag übernehmen zu dürfen.
Risikoprämie und Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion
Wie John W. Pratt 1964 zeigte, kann der Risikoabschlag (die geforderte Mindestrisikoprämie) bei kleinen Werten der Varianz sowie des Erwartungswerts für beliebige stetig differenzierbare Nutzenfunktionen wie folgt approximiert werdenHelmut Laux: Entscheidungstheorie; Springer-Verlag 2005, ISBN 3-540-23576-0, S. 227–229.:
Beispiele Es werde eine Münze geworfen, und man erhält je nach Ergebnis des Münzwurfs entweder eine Auszahlung von 1,00 € oder nichts. Der Erwartungswert E(w) wäre demnach 0,50 €, der Preis eines Loses bei Fairness der Lotterie wäre ebenfalls 0,50 €.
Zieht der Spieler es nun vor, sich anstelle der unsicheren Gewinnausschüttung einen Betrag < 0,50 € in bar auszahlen zu lassen, also z. B. sein eigenes Los jemand anderem für einen solchen niedrigeren Betrag zu verkaufen, wird er risikoscheu oder risikoavers genannt, und die Risikoprämie desjenigen, der ihm das Los abkauft, ist positiv (er wird statistisch gesehen einen Gewinn machen). Verkauft der Spieler dagegen jemand anderem sein Los für genau 0,50 €, ist er also selbst unentschieden (indifferent), ob er an der Lotterie teilnehmen soll oder nicht, wird er risikoneutral genannt, und die Risikoprämie desjenigen, der ihm das Los abkauft, bleibt null (er wird statistisch gesehen weder einen Gewinn noch Verlust machen). Ist der Spieler schließlich nur dann bereit, sein Los jemand anderem zu verkaufen, wenn dieser ihm dafür auf der Stelle einen Betrag > 0,50 € bezahlt, wird solch ein Spieler risikoliebend oder risikoaffin genannt, und die Risikoprämie desjenigen, der ihm das Los abkauft, ist negativ (er wird statistisch gesehen einen Verlust machen).
Abhängigkeit der Risikoprämie vom Risikotyp Beispiel 1 Ein risikoscheuer Spieler mit der Risikonutzenfunktion und deren Umkehrfunktion nehme an einer Tombola teil, bei der die Chancen für einen Hauptgewinn von 2500 € bei 1 %, die für einen Trostpreis von lediglich 25 € dagegen bei den verbleibenden 99 % stehen.
Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Tombola sind damit:
Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w und Risikoprämie der Tombola errechnen sich damit für den Spieler wie folgt:
Der risikoscheue Spieler wäre also bereit, maximal 29,70 € für ein Los auszugeben bzw. es umgekehrt für 29,70 € (oder mehr) weiterzuverkaufen, wobei der Käufer im Durchschnitt einen Gewinn von 20,05 € machen würde, da der durchschnittliche Ertrag des Loses ja, wie gezeigt, bei 49,75 € liegt.
Beispiel 2 Ein risikofreudiger Spieler mit der Risikonutzenfunktion und deren Umkehrfunktion nehme an derselben Tombola teil, bei der die Chancen für einen Hauptgewinn von 2500 € wieder bei 1 %, die für einen Trostpreis von lediglich 25 € dagegen bei den verbleibenden 99 % stehen.
Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Tombola sind damit:
Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w und Risikoprämie errechnen sich für den Spieler damit nun wie folgt:
Der risikofreudige Spieler wäre also bereit, maximal 251,23 € für ein Los auszugeben bzw. es umgekehrt für 251,23 € (oder mehr) weiterzuverkaufen, wobei der Käufer im Durchschnitt einen Verlust von 201,48 € machen würde, da der durchschnittliche Ertrag des Loses ja, wie gezeigt, lediglich bei 49,75 € liegt.
Abhängigkeit der Risikoprämie vom Ausgangsvermögen
Die Lage des in die Formel für die Risikoprämie einfließenden Erwartungswerts des unsicheren Vermögens w wird u. a. vom Ausgangsvermögen w0 bestimmt.
Beispiel 1 Ein risikoscheuer Spieler mit der Risikonutzenfunktion und deren Umkehrfunktion besitze lediglich ein Lotterielos, auf das mit einer Wahrscheinlichkeit ein Gewinn von 7 € ausgezahlt wird, sein Ausgangsvermögen w0 dagegen sei gleich Null.
Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w = w0 + L und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Lotterie sind damit:
Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w = w0 + L = L und Risikoprämie errechnen sich damit für den Spieler wie folgt:
Wie zu sehen, wäre das Lotterielos dem mittellosen Spieler also 1,75 € weniger wert als es dessen rein rechnerischem Wert entspricht: Obwohl das Los im Durchschnitt einen Gewinn von 3,50 € verspricht, wäre der mittellose Spieler schon für 1,75 € bereit, das Los jemand anderem weiterzuverkaufen oder es selbst auch nur für höchstens diese 1,75 € zu kaufen, da das Risiko des Totalverlusts des Spieleinsatzes in diesem Fall schwerer wiegt als die Aussicht auf Gewinn.
Beispiel 2 Ein anderer risikoscheuer Spieler mit derselben Risikonutzenfunktion und deren Umkehrfunktion besitze auch wieder dasselbe Lotterielos, auf das mit einer Wahrscheinlichkeit ein Gewinn von 7 € ausgezahlt wird, nun aber ein sicheres Ausgangsvermögen w0 von 9 €.
Der Erwartungswert des unsicheren Vermögens w = w0 + L und der erwartete Nutzen bei Teilnahme an der Lotterie sind damit:
Sicherheitsäquivalent des unsicheren Vermögens w = w0 + L und Risikoprämie errechnen sich damit für den Spieler wie folgt:
Wie zu sehen, wäre dasselbe Lotterielos dem „vermögenden“ Spieler nur noch 0,25 € weniger wert als es dessen rein rechnerischem Wert entspricht: Obwohl das Los im Durchschnitt einen Gewinn von 3,50 € verspricht, wäre der „vermögende“ Spieler aufgrund seiner Risikoscheu allerdings auch nur bereit, selbst 3,25 € dafür auszugeben bzw. es schon für 3,25 € (oder mehr) weiterzuverkaufen.
Abhängigkeit der Risikoprämie von der Gewinnspanne
Ein weiterer Faktor, der die Lage des in die Risikoprämien-Formel einfließenden Erwartungswerts des unsicheren Vermögens w beeinflusst, ist die Spannweite des in Aussicht stehenden Gewinns.
Beispiel 1